Teorema de unicidad del potencial

El potencial que cumple la ecuación de Poisson en una cierta región R con unas ciertas condiciones de contorno dadas en su superficie S es único. O lo que es lo mismo, dados ${\displaystyle \ V_{1}}$ y ${\displaystyle \ V_{2}}$ definidos en R que cumplen:

${\displaystyle \nabla ^{2}V_{1}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad V_{1}|_{S}=f}$

${\displaystyle \nabla ^{2}V_{2}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad V_{2}|_{S}=f}$

implica que:

${\displaystyle V_{1}=V_{2}\qquad \forall \mathbf {r} \in R}$

Summarize Timeline Fact Check

Sea ${\displaystyle \ V_{1}}$ y ${\displaystyle \ V_{2}}$ soluciones de la ecuación de Poisson en una cierta región R:

${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$

cumpliendo las condiciones de contorno

${\displaystyle \ V_{1}|_{S}=V_{2}|_{S}=f}$

siendo S la superficie que delimita dicho volumen.

Tomando ${\displaystyle \ V_{1}=V_{2}+\chi }$ por las condiciones anteriores ha de cumplirse que:

${\displaystyle \nabla ^{2}V_{1}=\nabla ^{2}V_{2}=\nabla ^{2}V_{1}+\nabla ^{2}\chi \qquad \Rightarrow \qquad \nabla ^{2}\chi =0\qquad \forall \mathbf {r} \in R}$

${\displaystyle \ V_{1}|_{S}=V_{2}|_{S}=V_{1}|_{S}+\chi |_{S}=f\qquad \Rightarrow \qquad \chi |_{S}=0}$

Dado que ${\displaystyle \ \chi }$ cumple la ecuación de Laplace, no posee máximos ni mínimos locales, el valor máximo y mínimo se alcanza en la frontera (${\displaystyle \ \chi |_{S}=0}$) de modo que concluimos

${\displaystyle \ \chi =0\qquad \forall \mathbf {r} \in R}$

o lo que es lo mismo:

${\displaystyle V_{1}=V_{2}\qquad \forall \mathbf {r} \in R}$