Teorema del factor

Si se deseara encontrar los factores de ${\displaystyle p(x)=x^{3}+7x^{2}+8x+2}$, se tantean las raíces de ${\displaystyle p(x)}$ para obtener los factores ${\displaystyle (x-k)}$. Si el resultado de sustituir ${\displaystyle k}$ en el polinomio es igual a 0 (es decir, si ${\displaystyle k}$ es raíz), se sabe que ${\displaystyle (x-k)}$ es un factor. Teniendo en cuenta que los candidatos a raíces (racionales) de ${\displaystyle p(x)}$ son ${\displaystyle \{\pm 1,\pm 2\}}$ por el teorema de la raíz racional, se va probando con ellos.

¿Es ${\displaystyle (x-1)}$ un factor de ${\displaystyle p(x)}$? Para saberlo, se sustituye ${\displaystyle x=1}$ en el polinomio:

${\displaystyle p(1)=1^{3}+7\cdot 1^{2}+8\cdot 1+2=1+7+8+2=18\neq 0}$

y se determina que ${\displaystyle (x-1)}$ no es un factor de ${\displaystyle p(x)}$. Se prueba ahora con ${\displaystyle (x-(-1))=(x+1)}$ de la misma forma; es decir, sustituyendo y comprobando si es ${\displaystyle -1}$ una raíz del polinomio:

${\displaystyle p(-1)=(-1)^{3}+7\cdot (-1)^{2}+8\cdot (-1)+2=0}$

Por tanto, ${\displaystyle (x+1)}$ es un factor porque -1 es una raíz de ${\displaystyle p(x)}$.

Para hallar otros factores, basta con probar con todos los posibles candidatos a raíces o encontrar un factor e ir dividiendo el polinomio por el factor hallado para obtener nuevos polinomios de menor grado en cada iteración; en este caso, se construiría.

${\displaystyle g(x)={\frac {p(x)}{x+1}}={\frac {x^{3}+7x^{2}+8x+2}{x+1}}=x^{2}+6x+2}$

Una vez probados todos los candidatos a raíces, se concluiría que ${\displaystyle g(x)}$ no tiene factores racionales (es decir, no existen más factores de la forma ${\displaystyle (x-k)}$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Q} }$), por lo que ${\displaystyle p(x)}$ solo tiene un factor racional. No obstante, por el teorema fundamental del álgebra, se sabe que ${\displaystyle p(x)}$ tiene dos factores más que serán, o ambos irracionales (${\displaystyle k\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }$), o ambos complejos no reales (${\displaystyle k\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R} }$).

${\displaystyle p(x)=x^{3}+7x^{2}+8x+2=(x+1)\cdot (x^{2}+6x+2)=(x+1)\cdot (x+3+{\sqrt {7}})\cdot (x+3-{\sqrt {7}})}$