Teoría de la homotopía

En la teoría de la homotopía y la topología algebraica, la palabra "espacio" denota un espacio topológico. Para evitar patologías, rara vez se trabaja con espacios arbitrarios; en cambio, uno requiere espacios para cumplir con restricciones adicionales, como ser generado de forma compacta, o Hausdorff, o un complejo CW.

En la misma línea que arriba, un "mapeo" (también un aplicación) es una función continua, posiblemente con algunas restricciones adicionales.

Muchas veces, se trabaja con un espacio puntiagudo—un espacio con un "punto distinguido", se llama el punto base. Un mapeo puntiagudo es entonces un mapeo que conserva puntos base; es decir, envía el punto base del dominio al del codominio. Por el contrario, un mapeo libre es aquel que no necesita conservar los puntos base.

Denotemos ${\displaystyle [0,1]}$ el intervalo unitario. Una familia de mapeos indexados por ${\displaystyle [0,1]}$, ${\displaystyle h_{t}:X\to Y}$ se llama homotopía de ${\displaystyle h_{0}}$ a ${\displaystyle h_{1}}$ si ${\displaystyle h:[0,1]\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)}$ es un mapeo (debe ser una función continua). Cuando ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ son espacios puntiagudos, el ${\displaystyle h_{t}}$ tiene que conservar los puntos base. Se puede demostrar que una homotopía es una relación de equivalencia . Dado un espacio puntiagudo ${\displaystyle X}$ y un entero ${\displaystyle n\geq 1}$, deja que ${\displaystyle \pi _{n}(X)=[S^{n},X]_{*}}$ sea las clases de homotopía de mapeos basados ${\displaystyle S^{n}\to X}$ de una n -esfera (puntiaguda) ${\displaystyle S^{n}}$ a ${\displaystyle X}$. Como resulta, ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ son grupos. En particular, ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ se llama grupo fundamental de X.

Si se prefiere trabajar con un espacio (en general) en lugar de un espacio puntiagudo, existe la noción de un grupoide fundamental. Por definición, el grupoide fundamental de un espacio ${\displaystyle X}$ es la categoría donde los objetos son los puntos de ${\displaystyle X}$ y los morfismos son caminos.

Un mapeo ${\displaystyle f:A\to X}$ se llama un cofibración si, dado que (1) un mapeo ${\displaystyle h_{0}:X\to Z}$ y (2) una homotopía ${\displaystyle g_{t}:A\to Z}$, existe una homotopía ${\displaystyle h_{t}:X\to Z}$ que se extiende ${\displaystyle h_{0}}$ y tal que ${\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}$. En cierto sentido, es parecido de diagrama definitorio de un módulo inyectivo en álgebra abstracta. El ejemplo más básico es un par CW ${\displaystyle (X,A)}$, y dado que muchos individuos trabajan solo con complejos CW, la noción de cofibración a menudo está implícita.

Una fibración en el sentido del autor Serre es la noción dual de una cofibración: es decir, un mapa ${\displaystyle p:X\to B}$ es una fibración si se le da (1) un mapa ${\displaystyle Z\to X}$ y (2) una homotopía ${\displaystyle g_{t}:Z\to B}$, existe una homotopía ${\displaystyle h_{t}:Z\to X}$ tal que ${\displaystyle h_{0}}$ es el dado y ${\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}$. Un ejemplo básico es un mapa de cobertura (de hecho, una fibración es una generalización de un mapa de cobertura). Si ${\displaystyle E}$ es un G -haz principal, es decir, un espacio con una acción de grupo libre y transitiva (topológica) de un grupo (topológico), entonces el mapa de proyección ${\displaystyle p:E\to X}$ es un ejemplo de una fibración.

• May, J. A Concise Course in Algebraic Topology
• George William Whitehead (1978). Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics 61 (3rd edición). New York-Berlin: Springer-Verlag. pp. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508. Consultado el 6 de septiembre de 2011. 
• Ronald Brown, Topology and groupoids (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8.

• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory