Trayectoria ortogonal

Asumimos que la familia de curvas dada está expresada implícitamente por la ecuación

(0) ${\displaystyle$ :\ F(x,y,c)=0,\qquad } ejemplo${\displaystyle$ :\ y=cx^{2}\quad \rightarrow \quad y-cx^{2}=0}

donde ${\displaystyle c}$ es el parámetro de la familia de curvas. Si la familia de curvas está dada explícitamente por una ecuación ${\displaystyle y=f(x,c)}$, es posible expresarla de manera implícita de la forma: ${\displaystyle y-f(x,c)=0}$. Para los siguientes pasos, se asume que existen todas las derivadas necesarias.

Paso 1.

Derivamos implícitamente para ${\displaystyle x}$:

(1) ${\displaystyle$ :\ F_{x}(x,y,c)+F_{y}(x,y,c)\;{\frac {dy}{dx}}=0,} ejemplo${\displaystyle$ :\ {\frac {dy}{dx}}-2cx=0}

Sea ${\displaystyle y_{1}'={\frac {dy}{dx}}}$ la derivada (pendiente) de la familia de curvas dada, entonces de (1) se obtiene que:

(2) ${\displaystyle$ :\ y_{1}'={\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}(x,y,c)}{F_{y}(x,y,c)}}=f_{1}(x,y,c)} , ejemplo${\displaystyle$ :\ {\frac {dy}{dx}}=2cx}

Paso 2.

Se asume que la ecuación (0) puede ser resuelta para el parámetro ${\displaystyle c}$:

(3) ${\displaystyle$ :\ c=F_{1}(x,y),} ejemplo${\displaystyle$ :\ c={\frac {y}{x^{2}}}}

Reemplazamos (3) en (2) para eliminar ${\displaystyle c}$ y obtener una ecuación diferencial de primer orden:

(4) ${\displaystyle$ :\ y'_{1}=f_{1}(x,y,F_{1}(x,y))\quad \rightarrow \quad y'_{1}=f(x,y)} ejemplo${\displaystyle$ :\ y'_{1}=2{\frac {y}{x}}}

Paso 3.

Puesto que la pendiente de la trayectoria ortogonal en el punto ${\displaystyle (x,y)}$ es el negativo del inverso multiplicativo de la pendiente de la curva dada en ese punto, la trayectoria ortogonal satisface la ecuación diferencial de primer orden

(5) ${\displaystyle :y'=-{\frac {1}{f(x,y)}}}$ ejemplo${\displaystyle$ :\ y'=-{\frac {x}{2y}}}

Paso 4.

Finalmente, la ecuación diferencial debe ser resuelta por un métoto adecuado. Para el ejemplo anterior, la separación de variables es adecuada, dando como solución (ecuación de las trayectorias ortogonales):

${\displaystyle y=mx,\quad m\in \mathbb {R} }$

Se conoce como trayectoria isogonal a una curva que se interseca en un ángulo fijo ${\displaystyle \alpha }$ con cada curva de una familia de curvas dada.

La relación existente entre la pendiente ${\displaystyle y'}$ de la trayectoria isogonal y la pendiente ${\displaystyle f(x,y)}$ de la curva de la familia de curvas dada, se obtiene a partir de la fórmula de la tangente de la suma de dos ángulos.

Por tanto, la ecuación diferencial de las trayectorias isogonales es:

${\displaystyle y'={\frac {f(x,y)+\tan(\alpha )}{1-f(x,y)\;\tan(\alpha )}}\ .}$

Cuando ${\displaystyle \alpha \rightarrow 90^{\circ }}$ se obtiene la condición para las trayectorias ortogonales.

Ejemplo

Para las circunferencias concéntricas y un ángulo ${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$, se tiene:

${\displaystyle \ y'={\frac {-x/y+1}{1+x/y}}\ .}$

Este es un tipo especial de ecuación diferencial, que puede ser transformada mediante la sustitución ${\displaystyle z=y/x}$ en una ecuación diferencial separable que se resuelve por separación de variables. Luego de deshacer la sustitución, se obtiene la ecuación de las trayectorias isogonales:

${\displaystyle \arctan {\frac {y}{x}}+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})=C\ .}$

La anterior ecuación expresada en coordenadas polares es:

${\displaystyle C-\varphi =\ln(r)\ ,}$

la cual describe espirales logarítmicas (ver diagrama).

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• R. M. Redheffer, D. Port: Differential Equations: Theory and Applications, Jones & Bartlett, 1991, ISBN 0-86720-200-9, p. 63.
• H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2, p. 120.
• Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (2012), Ordinary Differential Equations, Dover Books on Mathematics, Courier Dover, p. 115, ISBN 9780486134642 ..