Triángulo de Kepler

El hecho de que un triángulo de lados ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$ y ${\displaystyle \varphi }$ sea rectángulo, se deduce con solo reescribir el polinomio cuadrático de definición del número áureo ${\displaystyle \varphi }$:^[2]

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1\,}$

en la forma del teorema de Pitágoras:

${\displaystyle (\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.}$

Para números reales positivos a y b, sus media aritmética, media geométrica y media armónica, son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, si y solo si tal triángulo es un triángulo de Kepler.^[6]

Un triángulo de Kepler puede ser construido usando solo regla y compás creando primero un rectángulo áureo:

1. Construir un cuadrado, (rojo en fig.ct1).
2. Trazar una línea desde el punto medio de uno de sus lados hasta un vértice del lado opuesto.
3. Utilizar la longitud de esa línea, como radio para dibujar un arco (gris en la figura) que define la altura de un rectángulo áureo.
4. Completar el dibujo de dicho rectángulo.
5. Úsese el lado largo de la derecha del rectángulo, para trazar un arco hasta que intercepte al lado opuesto del rectángulo, dicha intersección define las longitudes de la hipotenusa y del cateto mayor del triángulo de Kepler (área marrón en fig.ct1).
   

Kepler lo construía de manera diferente. Según una carta que le escribió a su antiguo profesor Michael Mästlin:^[4] "Si un segmento se divide entre el extremo y su proporcional,^[1] y se toma como hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo ángulo recto se halle sobre el punto que divide a la hipotenusa en dichas partes, entonces el cateto menor tendrá la misma longitud que la parte más larga del segmento de partida (ahora hipotenusa)."^[7]

Algunas fuentes afirman que se puede reconocer en la gran pirámide de Guiza un triángulo con dimensiones aproximadas a un triángulo de Kepler.^[8][9]

• Número áureo
• Triángulo rectángulo