Vértice (curva)
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En la geometría de curvas planas, un vértice es un punto donde la primera derivada de la curvatura es cero.[1] Es un caso clásico de máximo o mínimo local del valor de la curvatura.[2] Algunos autores definen más específicamente un vértice como un punto de curvatura extrema local.[3] Sin embargo, pueden ocurrir otros casos especiales, como por ejemplo cuando la segunda derivada también es cero, o cuando la curvatura es constante. Para curvas espaciales, por otro lado, un vértice es un punto donde la torsión se anula.
Una hipérbola tiene dos vértices, uno en cada rama; son los más cercanos a dos puntos que se encuentren en las ramas opuestas de la hipérbola y sobre el eje principal. En una parábola, el único vértice se encuentra en el eje de simetría y en una curva cuadrática de la forma:
se puede encontrar completando el cuadrado o por diferenciación.[2] En una elipse, dos de los cuatro vértices se encuentran en el eje mayor y dos se encuentran en el eje menor.[4]
Para un circunferencia, que tiene una curvatura constante, cada punto es un vértice.
Cúspides y osculación
Los vértices son puntos donde la curva tiene contacto de orden 4 con la circunferencia osculatriz en ese punto.[5][6] En contraste, los puntos genéricos en una curva generalmente solo tienen un contacto de orden 3 con su círculo osculador. La evoluta de una curva tendrá genéricamente un cúspide cuando la curva tenga un vértice;[6] otras singularidades más degeneradas y no estables se pueden producir en vértices de orden superior, en los que el círculo de osculación tiene un contacto de orden superior a cuatro.[5] Aunque una sola curva genérica no tendrá vértices de orden superior, se producirán genéricamente dentro de una familia de curvas de un parámetro, en la curva de la familia para la que dos vértices ordinarios se unen para formar un vértice superior hasta que se superponen.
El conjunto simétrico de una curva tiene puntos finales en las cúspides correspondientes a los vértices, y el eje medio, un subconjunto del conjunto simétrico, también tiene sus puntos finales en las cúspides.
