Variables aleatorias intercambiables

Una sucesión de variables aleatorias intercambiables es una sucesión finita o infinita X₁, X₂, X₃, ... de variables aleatorias tal que para cualquier permutación finita σ de los índices 1, 2, 3, ..., (es decir, una permutación que sólo afecta a un número finito de índices), la distribución de probabilidad de la sucesión permutada

${\displaystyle X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)},X_{\sigma (3)},\dots }$

es la misma que la de la sucesión original.

Una sucesión de sucesos E₁, E₂, E₃, ... se dice intercambiable cuando lo es la sucesión de sus funciones indicadoras..

La función de distribución F_X1,...,Xn(x₁, ... ,x_n) de una sucesión finita de variables aleatorias intercambiables tiene que ser simétrica en sus argumentos x₁, ... ,x_n.

• Cualquier media ponderada de sucesiones de variables aleatorias i.i.d. es intercambiable.

• Sea una urna contiene n bolas rojas y m bolas azules. Supóngase que las bolas se extraen sin reemplazo hasta que la urna se vacía. Sea X_i la variable aleatoria que indica si la i-ésima bola era roja. Entonces {X_i}_i=1,...n es intercambiable.

• Sea ${\displaystyle (X,Y)}$ una variable aleatoria con distribución normal bivariada con parámetros ${\displaystyle \mu =0}$, ${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{y}=1}$ y coeficiente de correlación arbitrario ${\displaystyle \rho \in (-1,1)}$. Las variables aleatorias ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son intercambiables, pero únicamente independientes cuando ${\displaystyle \rho =0}$.

• El teorema de De Finetti caracteriza las sucesiones de variables aleatorias intercambiables como mezclas de sucesiones de variables i.i.d.

• Una sucesión de variables aleatorias intercambiables es estrictamente stationaria, por lo que cumplen una ley de los grandes números en la forma del teorema de Birkhoff-Khinchin theorem.

• Para una sucesión intercambiable finita { X_i }_{i = 1, 2, 3, ...} of length n:

${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j})={\text{constante}}\geq {\frac {-\sigma ^{2}}{n-1}},\quad {\text{para }}i\neq j,}$

donde σ ² = var(X₁).

"Constante" en este caso significa que no depende de los valores de los índices i y j en tanto que i ≠ j.

Esto puede probarse así:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq \operatorname {var} (X_{1}+\cdots +X_{n})\\&=\operatorname {var} (X_{1})+\cdots +\operatorname {var} (X_{n})+\underbrace {\operatorname {cov} (X_{1},X_{2})+\cdots \quad {}} _{\text{all ordered pairs}}\\&=n\sigma ^{2}+n(n-1)\operatorname {cov} (X_{1},X_{2}),\end{aligned}}}$

y después resolviendo la desigualdad para la covarianza. La igualdad se alcanza con un modelo de urnas simple: una urna contiene una bola roja y n − 1 bolas azules que se extraen sin reemplazo hasta vaciar la urna.

• Para una sucesión intercambiable infinita

${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j})={\text{constant}}\geq 0.\,}$