Índice (teoría de grupos)

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^[1] Cada subgrupo H de G permite definir dos relaciones de equivalencia sobre G, denotadas por ${\displaystyle \sim _{H}}$ (equivalencia por la izquierda) y ${\displaystyle {}_{H}\!\!\sim }$ (equivalencia por la derecha). Se definen como:

• ${\displaystyle \forall x,y\in G:}$

  ${\displaystyle x\sim _{H}y\iff \exists h\in H:y=xh\iff x^{-1}y\in H}$

  ${\displaystyle \!x\,\,{}_{H}\!\!\sim y\iff \exists h\in H:y=hx\iff yx^{-1}\in H}$

Las llamadas clases laterales son las clases de equivalencia definidas por estas relaciones. Se denotan como ${\displaystyle gH}$ en el caso de ${\displaystyle \sim _{H}}$, o bien como ${\displaystyle Hg}$ para ${\displaystyle {}_{H}\!\!\sim }$. Las respectivas particiones de G son denotadas por G:H y H:G. Es decir:

• ${\displaystyle G:H:=G/\sim _{H}\,=\{gH:g\in G\}}$

• ${\displaystyle H:G:=G/{}_{H}\!\!\sim \,=\{Hg:g\in G\}}$

Sea G un grupo y sea ${\displaystyle H\subseteq G}$ un subgrupo de G. Al cardinal

${\displaystyle i(H,G):=|H:G|=|G:H|}$

se le denomina índice de H en G. Otras notaciones frecuentes para ${\displaystyle i(H,G)}$ son ${\displaystyle i_{G}(H)}$ o también ${\displaystyle [G:H]}$.

En el caso de que G sea finito, tenemos la identidad:

${\displaystyle i(H,G)=|G|/|H|}$

donde se ha utilizado la notación clásica, |G|, para el orden de un grupo.