Órbita (dinámica)

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Dado un sistema dinámico (T, M, Φ) con T un grupo, M un conjunto y Φ la función evolución

${\displaystyle \Phi :U\to M}$ where ${\displaystyle U\subset T\times M}$ with ${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$

definimos

${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},}$

entonces el conjunto

${\displaystyle \gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M}$

es llamado una órbita que pasa por x. Una órbita que consiste de un solo punto es llamada órbita constante. Una órbita no-constante es llamada cerrada o periódica si existe ${\displaystyle t\neq 0}$ en ${\displaystyle I(x)}$ tal que

${\displaystyle \Phi (t,x)=x}$.

Dado un sistema dinámico real (R, M, Φ), I(x) es un intervalo abierto en los reales, o sea ${\displaystyle I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})}$. Para cualquier x en M

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}}$

es llamada 'semi-órbita positiva a través de x y

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}}$

es llamada semi-órbita negativa a través de x.

Para sistemas dinámicos de tiempo discreto:

órbita positiva de x es un conjunto :

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{\Phi (t,x):t\geq 0\}}$

órbita negativa de x otro conjunto :

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{\Phi (-t,x):t\geq 0\}}$

y la órbita es la unión :

${\displaystyle \gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}}$

donde:

• ${\displaystyle \Phi }$ es una función evolución ${\displaystyle \Phi :X\to X}$ que este caso es una función iterada,
• el conjunto ${\displaystyle X}$ es el espacio dinámico,
• ${\displaystyle t}$ es el número de iteraciones, el cual es natural y ${\displaystyle t\in T}$
• ${\displaystyle x}$ es un estado inicial del sistema y ${\displaystyle x\in X}$

Usualmente se utiliza otra notación:

• ${\displaystyle \Phi (t,x)}$ se escribe como ${\displaystyle \Phi ^{t}(x)}$
• ${\displaystyle x_{t}=\Phi ^{t}(x)}$ donde ${\displaystyle x_{0}}$ es ${\displaystyle x}$ en la notación anterior.

Para un sistema dinámico general, especialmente en dinámica homogénea, cuando uno tiene un grupo "bien comportado" ${\displaystyle G}$ actuando en un espacio de probabilidades ${\displaystyle X}$ de una manera que conserve la métrica, una órbita ${\displaystyle G.x\subset X}$ será llamada periódica (o equivalentemente cerrada) si un estabilizador ${\displaystyle Stab_{G}(x)}$ es una red dentro de ${\displaystyle G}$.

La clasificación de órbitas puede llevar a preguntas interesantes con relación a otras áreas de la matemática, por ejemplo, la conjetura de Oppenheim (demostrada por Margulis) y la conjetura de Littlewood (demostrada parcialmente por Lindenstrauss) tratan con la pregunta de si toda órbita acotada de alguna acción natural en el espacio homogéneo ${\displaystyle SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )}$ es una órbita periódica. Esta observación se debe a Raghunathan y en diferente lenguaje a Cassels y Swinnerton-Dyer.

Usualmente la función evolución puede ser entendida como compuesta por elementos de un grupo, en cuyo caso la órbita de la acción grupo es lo mismo que en órbitas dinámicas.