Équation ZFK

Comme dans le cas de l'équation KPP-Fisher il existe une solution de type onde progressive. Supposons que cette onde se déplace de droite à gauche avec une vitesse constante ${\displaystyle U}$, alors dans le système de coordonnées attachée à l'onde ${\displaystyle z=x+Ut}$, le problème devient stationnaire. L'équation ZFK se réduit à :

${\displaystyle U{\frac {d\theta }{dz}}={\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{2}}\theta (1-\theta )e^{-\beta (1-\theta )}}$

avec les conditions aux limites ${\displaystyle \theta (-\infty )=0}$ et ${\displaystyle \theta (+\infty )=1}$. Celles-ci sont satisfaites par la solution suffisamment régulière pour que la dérivée ${\displaystyle d\theta /dz}$ s'annule également lorsque ${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$. Comme l'équation est invariante par translation dans la direction ${\displaystyle z}$, une condition supplémentaire, par exemple ${\displaystyle \theta (0)=1/2}$, peut être utilisée pour fixer l'emplacement de l'onde. La vitesse de l'onde ${\displaystyle U}$ est obtenue dans le cadre de la solution, constituant ainsi un problème de valeur propre non linéaire^[3].

La limite ${\displaystyle \beta \rightarrow \infty }$ peut être analysée en utilisant l'asymptotique des grandes énergies d'activation. Étant donné que ${\displaystyle \beta }$ est grand, le terme ${\displaystyle e^{-\beta (1-\theta )}}$ rendra le terme de réaction pratiquement nul sauf si ${\displaystyle 1-\theta \sim 1/\beta }$. Le terme de réaction s'annulera également lorsque ${\displaystyle \theta =0}$ et ${\displaystyle \theta =1}$. Il est donc clair que ${\displaystyle \omega }$ est négligeable partout sauf dans une couche mince proche de la frontière ${\displaystyle \theta =1}$. Le problème est donc divisé en trois régions, une région interne diffusive-réactive flanquée de chaque côté par deux régions externes convectives-diffusives^[4].

Le problème des régions externes est donné par :

${\displaystyle U{\frac {d\theta }{dz}}={\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}}$

La solution satisfaisant la condition ${\displaystyle \theta (-\infty )=0}$ est ${\displaystyle \theta =e^{Uz}}$. Cette solution est également conçue pour satisfaire ${\displaystyle \theta (0)=1}$ (un choix arbitraire) pour fixer l'emplacement de l'onde quelque part dans le domaine car le problème est invariant par translation dans la direction ${\displaystyle z}$. Comme ${\displaystyle z\rightarrow 0^{-}}$, la solution externe se comporte comme ${\displaystyle \theta =1+Uz+\cdots }$ ce qui implique ${\displaystyle d\theta /dz=U+\cdots .}$

La solution satisfaisant la condition ${\displaystyle \theta (+\infty )=1}$ est ${\displaystyle \theta =1}$ et donc ${\displaystyle d\theta /dz=0}$.

Nous pouvons voir que bien que ${\displaystyle \theta }$ soit continue à ${\displaystyle z=0}$, ${\displaystyle d\theta /dz}$ présente un saut à ${\displaystyle z=0}$. La transition entre les dérivées est décrite par la région interne.

Dans la région interne où ${\displaystyle 1-\theta \sim 1/\beta }$, le terme de réaction n'est plus négligeable. Pour étudier la structure de la couche interne, on prolonge la coordonnée pour englober le point ${\displaystyle z=0}$ car c'est là que ${\displaystyle \theta }$ s'approche de l'unité selon la solution externe et une variable prolongée ${\displaystyle \eta =\beta z,\,\Theta =\beta (1-\theta )}$. En substituant ces variables dans l'équation générale et en ne retenant que les termes d'ordre dominant, on obtient :

${\displaystyle 2{\frac {d^{2}\Theta }{d\eta ^{2}}}=\Theta e^{-\Theta }}$

La condition limite ${\displaystyle \eta \rightarrow -\infty }$ vient du comportement local de la solution externe obtenue précédemment, qui, écrite dans les coordonnée de la zone interne devient ${\displaystyle \Theta \rightarrow -U\eta =+\infty }$ et ${\displaystyle d\Theta /d\eta =-U}$ et pour ${\displaystyle \eta \rightarrow +\infty }$ on obtient ${\displaystyle \Theta =d\Theta /d\eta =0}$. La première intégrale de l'équation ci-dessus après avoir imposé ces conditions aux limites devient :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.\left({\frac {d\Theta }{d\eta }}\right)^{2}\right|_{\Theta =\infty }-\left.\left({\frac {d\Theta }{d\eta }}\right)^{2}\right|_{\Theta =0}&=\int _{0}^{\infty }\Theta e^{-\Theta }d\Theta \\U^{2}&=1\end{aligned}}}$

ce qui implique ${\displaystyle U=1}$. Il ressort clairement de la première intégrale que le carré de la vitesse de l'onde ${\displaystyle U^{2}}$ est proportionnel à la valeur intégrée (par rapport à ${\displaystyle \theta }$) de ${\displaystyle \omega }$ (bien entendu, dans la grande limite ${\displaystyle \beta }$, seule la zone intérieure contribue à cette intégrale). La première intégrale après avoir substitué ${\displaystyle U=1}$ est donnée par :

${\displaystyle {\frac {d\Theta }{d\eta }}=-{\sqrt {1-(\Theta +1)\exp(-\Theta )}}}$

Malgré sa simplicité cette équation ne possède pas de solution analytique.

Dans le régime KPP, ${\displaystyle U_{min}=U_{KPP}.}$ Pour le terme de réaction utilisé ici, la vitesse KPP applicable pour ${\displaystyle \beta \ll 1}$ est donnée par^[5] :

${\displaystyle U_{KPP}=2{\sqrt {\left.{\frac {d\omega }{d\theta }}\right|_{\theta =0}}}={\sqrt {2}}\beta e^{-\beta /2}}$

Dans le régime ZFK ${\displaystyle U_{ZFK}=1}$. L'intégration numérique de l'équation pour différentes valeurs de ${\displaystyle \beta }$ a montré qu'il existe une valeur critique ${\displaystyle \beta _{*}=1,64}$ telle que seulement pour ${\displaystyle \beta \leq \beta _{*}}$, ${\displaystyle U_{min}=U_{KPP}.}$ Pour ${\displaystyle \beta \geq \beta _{*}}$, ${\displaystyle U_{min}}$ est supérieur à ${\displaystyle U_{KPP}}$. Lorsque ${\displaystyle \beta \gg 1}$, ${\displaystyle U_{min}}$ s'approche de ${\displaystyle U_{ZFK}=1}$, se rapprochant ainsi du régime ZFK. La région entre le régime KPP et le régime ZFK est appelée zone de transition KPP–ZFK.

La valeur critique dépend du modèle de réaction, par exemple on obtient :

${\displaystyle \beta _{*}=3.04\quad {\text{pour}}\quad \omega \propto (1-\theta )e^{-\beta (1-\theta )}}$

${\displaystyle \beta _{*}=5.11\quad {\text{pour}}\quad \omega \propto (1-\theta )^{2}e^{-\beta (1-\theta )}}$

Pour prédire analytiquement la transition KPP–ZFK, Paul Clavin et Amable Liñán ont proposé un modèle linéaire par morceaux^[6] :

${\displaystyle \omega (\theta )=\left\{{\begin{array}{lcl}\theta &{\text{si}}&0\leq \theta \leq 1-\epsilon \\h(1-\theta )/\epsilon ^{2}&{\text{si}}&1-\epsilon \leq \theta \leq 1\end{array}}\right.}$

où ${\displaystyle h}$ et ${\displaystyle \epsilon }$ sont des constantes. La vitesse KPP du modèle est ${\displaystyle U_{KPP}=2}$, tandis que la vitesse ZFK est obtenue comme ${\displaystyle U_{ZFK}={\sqrt {h}}}$ dans la double limite ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ et ${\displaystyle h\rightarrow \infty }$ qui imite une forte augmentation de la réaction près de ${\displaystyle \theta =1}$.

Pour ce modèle, il existe une valeur critique ${\displaystyle h_{*}=1-\epsilon ^{2}}$ telle que :

${\displaystyle {\begin{cases}h<h_{*}:&\quad U_{min}=U_{KPP},\\h>h_{*}:&\quad U_{min}={\frac {h/(1-\epsilon )+1-\epsilon }{\sqrt {h/(1-\epsilon )-\epsilon }}},\\h\gg h_{*}:&\quad U_{min}\rightarrow U_{ZFK}\end{cases}}}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « ZFK equation » (voir la liste des auteurs).

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