Algèbre de Hecke d'un groupe fini
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L'algèbre de Hecke d'un groupe fini est l'algèbre engendrée par les doubles classes HgH suivant un sous-groupe H d'un groupe fini G. C'est un cas particulier d'algèbre de Hecke d'un groupe localement compact.
Soient F un corps de caractéristique nulle, G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Soit l'algèbre de groupe de G : c'est l'espace des fonctions de G dans F avec la multiplication donnée par convolution. On note l'espace des fonctions de dans F. Une fonction (à valeurs dans F) sur détermine et est déterminée par une fonction sur G qui est invariante sous l'action de H par multiplication à droite. Autrement dit, on a une identification naturelle :
![{\displaystyle F[G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bf843b53d11e972a0627ad44d2a94a2c19298f)
![{\displaystyle F[G/H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341f72d35e2c7111d26863d8b8c27ea588945c6b)
![{\displaystyle F[G/H]=F[G]^{H}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ad0a85de63b08c69bda331160a265c3388f979)
De même, on a une identification
![{\displaystyle R:=\operatorname {End} _{G}(F[G/H])=F[G]^{H\times H}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c558ab125026955cb082e29b80156ac38413bb)
définie ainsi : on envoie une application G-linéaire f sur la valeur de f évaluée en la fonction caractéristique de H. Pour chaque double classe , soit sa fonction caractéristique. Alors, les forment une base de R.
