Algèbre de Virasoro

L'algèbre de Virasoro ${\displaystyle \mathrm {Vir} }$ s'obtient comme extension centrale de l'algèbre de Witt (en) complexe :

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\bigoplus _{s\in \mathbb {Z} }d_{s}}$

munie des opérateurs de dérivation

${\displaystyle d_{s}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$.

On a la suite exacte courte :

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} c\to \mathrm {Vir} \to {\mathcal {D}}\to 0}$

avec ${\displaystyle c}$ la charge centrale (en), le crochet de Lie associé étant :

${\displaystyle \left[d_{i},d_{j}\right]=(i-j)d_{i+j}+{\frac {1}{12}}(i^{3}-i)\delta _{i,-j}c}$.

Le facteur 1/12 est conventionnel, et cette extension centrale est unique à isomorphisme d'algèbres de Lie près.