Approximation de l'enveloppe lentement variable

On considère une un signal monochromatique

${\displaystyle s({\vec {r}},t)=s_{0}({\vec {r}},t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\vec {k}}_{0}\cdot {\vec {r}}-\omega _{0}t)}}$

d'amplitude ${\displaystyle s_{0}({\vec {r}},t)}$ (enveloppe) et de vecteur d'onde ${\displaystyle {\vec {k}}_{0}}$ et de pulsation ${\displaystyle \omega _{0}}$ (porteuse).

Dans l'approximation de l'enveloppe lentement variable, on considère que ${\displaystyle s_{0}}$ varie lentement quand ${\displaystyle |{\vec {r}}|}$ varie d'une longueur d'onde ${\displaystyle \lambda _{0}=2\pi /|{\vec {k}}_{0}|}$ et quand ${\displaystyle t}$ varie d'une période ${\displaystyle T=2\pi /\omega _{0}}$. Cela se traduit par les relations suivantes sur les dérivées partielles de l'amplitude du signal :

${\displaystyle \left|\nabla ^{2}s_{0}\right|\ll \left|{\vec {k}}_{0}\cdot {\vec {\nabla }}s_{0}\right|}$ ,

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}s_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}{\frac {\partial s_{0}}{\partial t}}\right|}$ .

En optique non linéaire, l'approximation de l'enveloppe lentement variable permet de simplifier l'équation de propagation des ondes électromagnétiques^[1].

Dans un milieu matériel, l'équation de propagation des ondes électromagnétiques s'écrit :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {P}}}{\partial t^{2}}}}$.

où ${\displaystyle {\vec {E}}}$ est le champ électrique, ${\displaystyle {\vec {P}}}$ la polarisation du milieu.

On considère une onde plane monochromatique se propageant dans la direction ${\displaystyle Oz}$. Le champ électrique s'écrit alors :

${\displaystyle {\vec {E}}(z,t)={\hat {e}}A(z,t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kz-\omega t)}+\mathrm {c.c.} }$

(c.c. désigne la quantité complexe conjuguée). Dans ce cas ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0}$ et l'équation de propagation devient :

${\displaystyle \Delta {\vec {E}}=\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {D}}}{\partial t^{2}}}}$

avec ${\displaystyle {\vec {D}}={\vec {P}}+\epsilon _{0}{\vec {E}}}$ le vecteur déplacement électrique. En séparant la polarisation en sa partie linéaire ${\displaystyle {\vec {P}}^{\mathrm {L} }}$ et sa partie non linéaire ${\displaystyle {\vec {P}}^{\mathrm {NL} }}$, on peut réécrire le vecteur déplacement électrique :

${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}^{\mathrm {L} }+{\vec {P}}^{\mathrm {NL} }=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }{\vec {E}}+{\vec {P}}^{\mathrm {NL} }}$.

En introduisant alors ${\displaystyle k_{\Sigma }}$ le vecteur d'onde de la polarisation non linéaire (qui dépend du phénomène étudié), on écrit :

${\displaystyle {\vec {P}}^{\mathrm {NL} }={\vec {P}}^{\mathrm {NLS} }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (k_{\Sigma }z-\omega t)}+\mathrm {c.c.} }$

En détaillant l'expression du laplacien, il vient :

${\displaystyle \Delta {\vec {E}}={\hat {e}}\left[{\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}+2\mathrm {i} k{\frac {\partial A}{\partial z}}-k^{2}A\right]\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kz-\omega t)}+\mathrm {c.c.} }$

On peut alors utiliser l'approximation de l'enveloppe lentement variable pour éliminer le premier terme. Finalement, on obtient l'équation de propagation suivante :

${\displaystyle 2\mathrm {i} k{\frac {\partial A}{\partial z}}-k^{2}A=-\varepsilon _{\mathrm {r} }{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-\mu _{0}\omega ^{2}{\hat {e}}\cdot {\vec {P}}^{\mathrm {NLS} }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (k_{\Sigma }-k)z}}$

qui se simplifie avec ${\displaystyle k^{2}=\varepsilon _{\mathrm {r} }\omega ^{2}/c^{2}}$ en :

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial z}}=\mathrm {i} {\frac {\omega }{2\varepsilon _{0}nc}}{\hat {e}}\cdot {\vec {P}}^{\mathrm {NLS} }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \Delta kz}}$

où ${\displaystyle \Delta k=k_{\Sigma }-k}$. Cette équation est la forme la plus simple de l'équation de propagation non linéaire des ondes électromagnétiques.

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