Cercle mixtilinéaire d'un triangle

En géométrie, un cercle mixtilinéaire d'un triangle est un cercle tangent à deux de ses côtés et intérieurement tangent à son cercle circonscrit. Chaque triangle a trois cercles mixtilinéaires uniques, correspondant à chaque sommet du triangle.

On prouve l'existence d'un seul des trois cercles mixtilinéaires par symétrie. Le cercle A-exinscrit (tangent extérieurement au côté BC) du triangle $ABC$ est unique.

Soit $\Phi$ la composée de l'inversion de pôle A et de rapport ${\sqrt {AB\cdot AC}}$ , et de la réflexion par rapport à la bissectrice en A. $\Phi$ échange les sommets B et C et échange le centre du cercle inscrit avec le centre du cercle A-exinscrit. Puisque l'inversion et la réflexion sont bijectives et conservent les points de contact, $\Phi$ fait de même. Ainsi, l'image du cercle A-exinscrit sous $\Phi$ est un cercle tangent intérieurement aux côtés AB, AC et au cercle circonscrit de ABC, c'est un cercle A-mixtilinéaire inscrit.

La même application $\Phi$ appliquée à un cercle mixtilinéaire associé au sommet A montre qu'il est unique^[1].

Construction

On construit d'abord le centre inscrit $I$ par intersection des bissectrices.
La droite passant par $I$ perpendiculaire à $AI$ intersecte $AB$ et $AC$ aux points $D$ et $E$ respectivement. Ce sont les points de tangence du cercle mixtilinéaire.
Les perpendiculaires à $AB$ et $AC$ passant par les points $D$ et $E$ respectivement se croisent en un point noté $O_{A}$ , qui est le centre du cercle mixtilinéaire.

Cette construction est possible, avec le lemme suivant :

Lemme — Le centre du cercle inscrit est le milieu des points de contact du cercle mixtilinéaire aux deux côtés du triangle.

Démonstration

Soit $\Gamma$ le cercle circonscrit du triangle $ABC$ et $T_{A}$ le point de tangence du $A$ -cercle mixtilinéaire $\color {red}{\Omega _{A}}$ avec $\Gamma$ . Soit $X\neq T_{A}$ l'intersection de $T_{A}D$ avec $\Gamma$ ; $Y\neq T_{A}$ l'intersection de $T_{A}E$ avec $\Gamma$ . L'homothétie de centre $T_{A}$ entre $\color {red}{\Omega _{A}}$ et $\Gamma$ implique que $X,Y$ sont les milieux de $\Gamma$ arcs $AB$ et $AC$ respectivement. Le théorème de l'angle inscrit implique que $X,I,C$ et $Y,I,B$ sont des triplets colinéaires. Le théorème de Pascal appliqué à l'hexagone $XCABYT_{A}$ inscrit dans $\Gamma$ implique que $D,I,E$ sont colinéaires. Or les angles $\angle {DAI}$ et $\angle {IAE}$ sont égaux, il s'ensuit que $I$ est le milieu du segment $DE$ ^[1]^,^[2].

Quelques propriétés

Rayon

La formule suivante relie le rayon $r$ du cercle inscrit et du rayon $\rho _{A}$ du cercle $A$ -mixtilinéaire d'un triangle $ABC$ : $r=\rho _{A}\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$ où $\alpha$ est la mesure de l'angle en $A$ ^[3].

Relation aux points sur le cercle circonscrit

La droite $T_{A}I$ coupe l'arc $BC$ en son milieu^[4]^,^[5].
Le quadrilatère $T_{A}XAY$ est harmonique, ce qui signifie que $T_{A}A$ est une symédiane du triangle $XT_{A}Y$ ^[1].

Cercles liés au point de tangence avec le cercle circonscrit

$T_{A}BDI$ et $T_{A}CEI$ sont deux quadrilatères cycliques^[4].

Relation entre les trois cercles mixtilinéaires

Cercles mixtrilinéaires inscrits d'un triangle

Les trois droites $T_{A}A$ , $T_{B}B$ et $T_{C}C$ concourent en un point^[3], son nombre de Kimberling est X(56)^[6]. Il est défini par des coordonnées trilinéaires ${\frac {a}{c+a-b}}:{\frac {b}{c+a-b}}:{\frac {c}{a+b-c}}$ et coordonnées barycentriques ${\frac {a^{2}}{c+a-b}}:{\frac {b^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c^{2}}{a+b-c}}$ .

Cercles mixtrilinéaires exinscrits d'un triangle

Le centre radial des trois cercles inscrits mixtilignes est un point $J$ qui divise $OI$ avec rapport $OJ:JI=2R:-r$ où $I,r,O,R$ sont respectivement les centres et rayons des cercles inscrit et circonscrit^[5].