Champ de Jacobi

En gros, deux points d’une variété riemannienne sont dits conjugués s’ils peuvent presque être joints par une famille (à 1 paramètre) de géodésiques. L’exemple le plus frappant est donné par le pôle nord et le pôle sud sur la sphère, qui peuvent être joints par tout méridien. On montre qu'une variété riemannienne de courbure sectionnelle constante ${\displaystyle \kappa }$ possède des points conjugués si et seulement si ${\displaystyle \kappa >0}$.

Soient ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ deux points d’une variété riemannienne joints par une géodésique c. On dit qu’ils sont conjugués s’il existe un champ de Jacobi ${\displaystyle J}$ non nul le long de c qui s’annule en ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$.

• Sur la sphère ${\displaystyle S^{2}}$, de courbure sectionnelle ${\displaystyle \kappa =1}$, les points antipodaux sont conjugués.
• Sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ euclidien, il n’existe pas de points conjugués.
• Plus généralement, le théorème de Cartan-Hadamard montre que sur une variété de courbure négative (au sens large), il n'y a jamais de points conjugués.

• (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail de l’édition]

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacobi field » (voir la liste des auteurs).

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