Conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques
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En mathématiques, plus précisément en combinatoire arithmétique, la conjecture d’Erdős sur les progressions arithmétiques peut s’énoncer de la manière suivante.
Soit une suite d’entiers strictement positifs ; si la série diverge, alors pour tout entier positif , on peut extraire de une suite arithmétique de longueur .
Elle généralise la conjecture d'Erdős-Turán qui, elle, a été résolue (et s'appelle désormais le théorème de Szemerédi).
Erdős a proposé un prix de 3 000 USD à qui prouvera cette conjecture[1].
Le théorème de Green-Tao sur les suites arithmétiques de nombres premiers est un cas particulier de cette conjecture.
En 1936, Erdős et Turán énoncèrent la conjecture plus faible selon laquelle tout ensemble d'entiers avec une densité asymptotique positive contient un nombre infini de progressions arithmétiques à 3 termes[2]. Elle fut démontrée par Klaus Roth en 1952, et généralisée à des progressions de longueur arbitraire par Szemerédi en 1975, résultat désormais connu sous le nom de théorème de Szemerédi.
Dans une conférence de 1976 intitulée « En mémoire de mon ami et collaborateur d'une vie, Pál Turán », Paul Erdős offrit un prix de 3000 $ pour une preuve de cette conjecture[3] ; prix porté par la suite à 5000 $[4].
