Conjecture de Nagata

Nagata énonce sa conjecture par son travail sur le 14^e problème de Hilbert, qui demande si l'anneau invariant d'une action de groupe linéaire sur l'anneau polynomial k[x₁, ..., x_n] sur un corps k est de type fini. Nagata publie la conjecture dans un article de 1959 dans l'American Journal of Mathematics, dans lequel il présente un contre-exemple au 14^e problème de Hilbert.

Conjecture de Nagata. Soient p₁, ..., p_r des points de P² et m₁, ..., m_r des entiers positifs. Alors pour r > 9 toute courbe C dans P² passant par chacun des points p_i de multiplicité m_i doit satisfaire

${\displaystyle \deg C>{\frac {1}{\sqrt {r}}}\sum _{i=1}^{r}m_{i}.}$

La condition r > 9 est nécessaire.