Constante d'Hermite

La valeur exacte de γ_n est connue seulement pour ${\displaystyle n\leqslant 8}$ et n = 24^[1],[2].

La valeur ${\displaystyle \gamma _{2}={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}}$ est atteinte par le réseau des entiers d'Eisenstein. La valeur ${\displaystyle \gamma _{24}=4}$ est atteinte par le réseau de Leech.

Les valeurs pour les n de 9 à 23 sont conjecturées^[3].

Pour les autres dimensions, on sait encadrer la constante γ_n en fonction du volume V_n de l'hypersphère, en utilisant le théorème de Minkowski pour la majoration et celui de Minkowski-Hlawka (en) pour la minoration^[4] :

${\displaystyle V_{n}^{-2/n}<\left({\frac {2\zeta (n)}{V_{n}}}\right)^{2/n}\leqslant \gamma _{n}\leqslant 4V_{n}^{-2/n}}$.

Le majorant ${\displaystyle 4V_{n}^{-2/n}}$ est inférieur à n pour tout n et équivalent à ${\displaystyle {\frac {2n}{\pi \mathrm {e} }}}$ quand n tend vers l'infini (d'après l'expression ci-dessus de V_n et la formule de Stirling), mais il existe une majoration asymptotique bien plus fine^[5] :

${\displaystyle \gamma _{n}\leq {\frac {1{,}744n}{2\pi \mathrm {e} }}+o(n)}$.

La minoration (valide seulement pour n > 1) implique que ${\displaystyle \gamma _{n}>{\frac {n}{2\pi \mathrm {e} }}}$ pour n assez grand.

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