Courbe de Moore
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En géométrie, la courbe de Moore (d'après E.H. Moore ) est une courbe fractale continue qui remplit l'espace et qui est une variante de la courbe de Hilbert. Plus précisément, il s'agit de la version fermée de la courbe de Hilbert, et on peut la concevoir comme l'union de quatre copies de la courbe de Hilbert réarrangées de manière à ce que leurs extrémités coïncident.
Comme la courbe de Moore remplit le plan, sa dimension de Hausdorff est de 2.
La figure suivante illustre les étapes initiales de la courbe de Moore :
Représentation sous forme de système de Lindenmayer
La courbe de Moore peut être exprimée par un système de réécriture ( système L ).
- Alphabet : L, R
- Constantes : F, +, −
- Axiome : LFL+F+LFL
- Règles de production :
- L → − RF+LFL+FR −
- R → +LF − RFR − FL+
Ici, F signifie « avancer », − signifie « tourner à gauche de 90° », et + signifie « tourner à droite de 90° ».
Généralisation aux dimensions supérieures
Il existe une généralisation élégante de la courbe de Hilbert à des dimensions supérieures arbitraires. Le parcours des sommets polyédriques d'un hypercube en dimension n dans l'ordre du code de Gray produit un générateur pour la courbe de Hilbert n-dimensionnelle.
Pour construire la courbe de Moore d'ordre N en K dimensions, on place 2K copies de la courbe de Hilbert d'ordre N−1 à K dimensions à chaque sommet d'un hypercube à K dimensions, on les fait pivoter et on les relie par des segments de droite. Ces segments suivent la trajectoire d'une courbe de Hilbert d'ordre 1. Cette construction fonctionne même pour la courbe de Moore d'ordre 1 si l'on définit la courbe de Hilbert d'ordre 0 comme un point géométrique. On en déduit qu'une courbe de Moore d'ordre 1 est identique à une courbe de Hilbert d'ordre 1.
Pour construire la courbe de Moore d'ordre N en trois dimensions, on place huit copies de la courbe de Hilbert 3D d'ordre N−1 aux coins d'un cube, on les fait pivoter et on les relie par des segments de droite.
Voir aussi
Notes
Références
- (en) E.H. Moore, « On certain crinkly curves », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 1, no 1, , p. 72–90 (DOI 10.2307/1986405).
Liens externes
- (en) A. Bogomolny, « Plane Filling Curves from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles », sur cut-the-knot, .
