Courbe de Watt

Alors

${\displaystyle a+b\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \rho }=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+c\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }.\,}$

${\displaystyle -a+b\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda }=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-c\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }\,}$

En prenant la moyenne des deux équations, on obtient

${\displaystyle r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }={\frac {b}{2}}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \rho }+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda })=b\cos \left({\frac {\rho -\lambda }{2}}\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\tfrac {\rho +\lambda }{2}}}.}$

La comparaison des rayons et des arguments donne

${\displaystyle r=b\cos \alpha ,\ \theta ={\tfrac {\rho +\lambda }{2}}\ {\mbox{avec}}\ \alpha ={\tfrac {\rho -\lambda }{2}}.}$

De même, en faisant la différence des deux premières équations et en divisant par 2, on obtient

${\displaystyle c\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }-a={\tfrac {b}{2}}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \rho }-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \lambda })=\mathrm {i} b\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\sin \alpha }$

On écrit

${\displaystyle a=a\cos \theta \ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {i} a\sin \theta \ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }.\,}$

L'équation polaire de la courbe peut être dérivée comme suit : en se plaçant dans le plan complexe, soit les centres des cercles en a et –a, et le segment de connexion a ses extrémités en −a + be^iλ et a + be^iρ. Soit l'angle d'inclinaison du segment ψ avec son milieu à re^iθ. Les points finaux sont alors également donnés par re^iθ ± ce^iψ. En définissant des expressions pour les mêmes points égales entre elles, on obtient

${\displaystyle c\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }=\mathrm {i} b\sin \alpha \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+a\cos \theta \ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {i} a\sin \theta \ \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }=(a\cos \theta \ +\mathrm {i} (b\sin \alpha -a\sin \theta ))\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta },}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}\cos ^{2}\theta +(b\sin \alpha -a\sin \theta )^{2},\,}$

${\displaystyle b\sin \alpha =a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }},\,}$

${\displaystyle r^{2}=b^{2}\cos ^{2}\alpha =b^{2}-b^{2}\sin ^{2}\alpha =b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.,\,}$

En développant l'équation polaire, on obtient

${\displaystyle r^{2}=b^{2}-(a^{2}\sin ^{2}\theta \ +c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta \pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,}$

${\displaystyle r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2}+2a^{2}\sin ^{2}\theta =\pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,}$

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})\sin ^{2}\theta +4a^{4}\sin ^{4}\theta =4a^{2}\sin ^{2}\theta (c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta ),\,}$

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-b^{2})\sin ^{2}\theta =0,\,}$

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,}$

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,}$

La construction nécessite un quadrilatère de côtés 2a, b, 2c, b . Chaque côté doit être inférieur à la somme des côtés restants, de sorte que la courbe est vide (au moins dans le plan réel) sauf si a < b + c et c < b + a.

La courbe a un point d'intersection à l'origine s'il existe un triangle de côtés a, b et c . Compte tenu des conditions précédentes, cela signifie que la courbe passe par l'origine si et seulement si b < a + c . Si b = a + c alors deux branches de la courbe se rencontrent à l'origine avec une tangente verticale commune, ce qui en fait un point quadruple.

Dans le cas où b < a + c, la forme de la courbe est déterminée par la grandeur relative de b et d . Si d est imaginaire, c'est-à-dire si a ² + b ² < c ², alors la courbe a la forme d'un huit. Si d est égal à 0, la courbe est un huit dont les deux branches ont une tangente horizontale commune à l'origine. Si 0 < d < b alors la courbe a deux points doubles supplémentaires à ± d et la courbe se croise à ces points. Dans ce cas, la forme générale de la courbe ressemble à celle d’un bretzel. Si d = b alors a = c et la courbe se décompose en un cercle de rayon b et une lemniscate de Booth, une courbe en forme de huit. Un cas particulier est a = c, b =√2 c qui produit la lemniscate de Bernoulli. Finalement, si d > b alors les points ± d sont toujours des solutions de l'équation cartésienne de la courbe, mais la courbe ne traverse pas ces points et ce sont des acnodes . La courbe a à nouveau une forme en huit, bien que la forme soit déformée si d est proche de b.

Étant donné b > a + c, la forme de la courbe est déterminée par les tailles relatives de a et c . Si a < c alors la courbe a la forme de deux boucles qui se croisent à ± d . Si a = c alors la courbe se décompose en un cercle de rayon b et un ovale de Booth. Si a > c, alors la courbe ne traverse pas du tout l'axe des x et se compose de deux ovales aplatis.

Lorsque la courbe croise l'origine, l'origine est un point d'inflexion et a donc un contact d'ordre 3 avec une tangente. Cependant, si ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$ ( ce qui est le cas si le triangle avec des côtés ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle c}$ est un triangle rectangle ) alors la tangente a un contact d'ordre 5 avec la tangente, en d'autres termes la courbe est une approximation proche d'une droite. C’est la base du mécanisme de Watt.