Courbe intégrale

Supposons que F est un champ vectoriel : c'est -à-dire une fonction vectorielle avec des coordonnées cartésiennes ( F ₁, F ₂ ,. . ., F _n ); et x ( t ) une courbe paramétrique définie en coordonnées cartésiennes ( x ₁ ( t ), x ₂ ( t )..., x _n ( t )). Alors x ( t ) est une courbe intégrale de F si c'est une solution du système autonome suivant d'équations différentielles ordinaires:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}}$

Un tel système peut être écrit sous forme vectorielle

${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).\!\,}$

Cette équation implique que le vecteur tangent à la courbe en tout point x ( t ) est précisément le vecteur F ( x ( t )), et donc la courbe x ( t ) est tangente en chaque point au champ vectoriel F .

Si un champ vectoriel est donné par une application lipschitzienne, alors le théorème de Picard – Lindelöf implique qu'il existe un flux unique pour un petit temps.

Soit M une variété de Banach de classe C ^r avec r ≥ 2. De plus T M désigne le fibré tangent de M avec sa projection naturelle π _M : T M → M donnée par

${\displaystyle \pi _{M}:(x,v)\mapsto x.}$

Un champ de vecteurs sur M est une section transversale du fibré tangent T M, c'est-à-dire une application faisant correspondre à chaque point de la variété M un vecteur tangent à M en ce point. Soit X un champ vectoriel sur M de classe C ^{r − 1} et soit p ∈ M. Une courbe intégrale pour X passant par p au temps t ₀ est une courbe α : J → M de classe C ^{r − 1}, définie sur un intervalle ouvert J de la droite réelle R contenant t ₀, telle que

${\displaystyle \alpha (t_{0})=p;\,}$

${\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha (t)){\mbox{ pour tout }}t\in J.}$

La définition ci-dessus d'une courbe intégrale α pour un champ vectoriel X, passant par p au temps t ₀, revient à dire que α est une solution locale au système d'équations différentielles ordinaires avec pour valeur initiale

${\displaystyle \alpha (t_{0})=p;\,}$

${\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha (t)).\,}$

La solution est locale car elle n'est définie que pour les temps appartenant à J, et pas nécessairement pour tout t ≥ t ₀ (sans parler de t ≤ t ₀ ). Ainsi, le problème de prouver l'existence et l'unicité des courbes intégrales est équivalent à celui de montrer l'existence et l'unicité de solution aux équations différentielles ordinaires à valeurs initiales imposées.

Dans ce qui précède, α ′ ( t ) désigne la dérivée de α au temps t, la "direction dans laquelle α pointe" par rapport au temps t . D'un point de vue plus abstrait, il s'agit de la c'est le dérivé de Fréchet :

${\displaystyle (\mathrm {d} _{t}f)(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha (t)}M.}$

Dans le cas particulier où M est un sous - ensemble ouvert de R ⁿ, il s'agit de la dérivée traditionnelle

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \alpha _{1}}{\mathrm {d} t}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} \alpha _{n}}{\mathrm {d} t}}\right),}$

où α ₁..., α _n sont les coordonnées de α par rapport aux directions de coordonnées canoniques.

Plus généralement, on peut reformuler les résultats précédent dans le cadre des Morphisme de groupes. Notons que le fibré tangent T J de J est le fibré trivial J × R et qu'il existe une section canonique ι de ce fibré telle que ι ( t ) = 1 (ou, plus précisément, ( t, 1)) pour tout t ∈ J. La courbe α induit une application groupée α _∗ : T J → T M pour que le diagramme suivant commute:

Alors la dérivée temporelle α ′ est la composition α ′ = α _∗ o ι, et α ′ ( t ) est sa valeur à un instant donné t ∈ J.

• Serge Lang, Differential manifolds, Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont., Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972

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