Cubique de Tschirnhausen

Posons t = tan(θ/3). Selon la formule de Moivre, cela donne :

${\displaystyle x=a\cos(\theta )\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)=a\left[\cos ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)-3\cos \left({\frac {\theta }{3}}\right)\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\right]\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)=a\left[1-3\tan ^{2}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\right]=a(1-3t^{2}),}$

${\displaystyle y=a\sin(\theta )\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)=a\left[3\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\sin \left({\frac {\theta }{3}}\right)-\sin ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\right]\sec ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)=a\left[3\tan \left({\frac {\theta }{3}}\right)-\tan ^{3}\left({\frac {\theta }{3}}\right)\right]=at(3-t^{2}).}$

ce qui donne une équation paramétrique. Le paramètre t peut être facilement éliminé, ce qui donne l'équation cartésienne

${\displaystyle 27ay^{2}=(a-x)(8a+x)^{2}}$.

Si la courbe est translatée horizontalement de ${\displaystyle 8a}$, les équations deviennent

${\displaystyle x=3a(3-t^{2})\ ,\ y=at(3-t^{2})}$

ou

${\displaystyle x^{3}=9a\left(x^{2}-3y^{2}\right)}$,

ce qui donne la forme polaire

${\displaystyle r=9a\sec(\theta )\left(1-3\tan ^{2}\theta \right)}$.

Les caustiques de parabole, lorsque la source lumineuse est à l'infini, sont des cubiques de Tschirnhausen. Elle est réduite à un point, le foyer de la parabole, lorsque la direction de la source est l'axe de la parabole.

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