Cœur d'un sous-groupe

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Le cœur de ${\displaystyle H}$ dans ${\displaystyle G}$ est le plus grand sous-groupe normal de ${\displaystyle G}$ contenu dans ${\displaystyle H}$.

Si on désigne par ${\displaystyle G/H}$ l'ensemble des classes à gauche de ${\displaystyle G}$ modulo ${\displaystyle H}$ (cet ensemble n'est pas forcément muni d'une structure de groupe, ${\displaystyle H}$ n'étant pas supposé normal dans ${\displaystyle G}$), on sait que ${\displaystyle G}$ opère à gauche sur ${\displaystyle G/H}$ par :

${\displaystyle {\begin{aligned}G\times G/H&\rightarrow G/H\\(g,X)&\mapsto gX\end{aligned}}}$

Le cœur de ${\displaystyle H}$ dans ${\displaystyle G}$ est le noyau de cette opération. Il en résulte que ${\displaystyle G/H_{G}}$ est isomorphe à un sous-groupe de ${\displaystyle S_{G/H}}$ (groupe des permutations de l'ensemble ${\displaystyle G/H}$). En particulier, si ${\displaystyle H}$ est d'indice fini ${\displaystyle n}$ dans ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H_{G}}$ est lui aussi d'indice fini dans ${\displaystyle G}$ et cet indice divise ${\displaystyle n!}$ (factorielle de ${\displaystyle n}$).

Comme exemple d'usage de la notion de cœur d'un sous-groupe, on peut citer un théorème de Øystein Ore selon lequel deux sous-groupes maximaux d'un groupe fini résoluble qui ont le même cœur sont forcément conjugués^[4]. Ce théorème permet de prouver des théorèmes bien connus de Philip Hall et de Roger Carter (en)^[5].