Déterminant par blocs

Si ${\displaystyle A}$ est une matrice carrée de taille ${\displaystyle n}$, on forme un procédé d'extraction de ${\displaystyle k\leq n}$ colonnes, noté ${\displaystyle \varphi }$, c'est-à-dire une application strictement croissante de ${\displaystyle [\![1,k]\!]}$ dans ${\displaystyle [\![1,n]\!]}$, et un procédé d'extraction de ${\displaystyle k\leq n}$ lignes, noté ${\displaystyle \varphi '}$.

On note ${\displaystyle D_{\varphi ,\varphi '}}$ le déterminant de la matrice extraite de ${\displaystyle A}$ en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices ${\displaystyle \varphi ([\![1,k]\!])}$ et les lignes d'indices ${\displaystyle \varphi '([\![1,k]\!])}$.

On note ${\displaystyle D'_{\varphi ,\varphi '}}$ le déterminant de la matrice extraite de ${\displaystyle A}$ en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices qui ne sont pas dans ${\displaystyle \varphi ([\![1,k]\!])}$ et les lignes d'indices qui ne sont pas dans ${\displaystyle \varphi '([\![1,k]\!])}$.

On note ${\displaystyle \Phi }$ l'ensemble des applications strictement croissantes de ${\displaystyle [\![1,k]\!]}$ dans ${\displaystyle [\![1,n]\!]}$ et l'on fixe ${\displaystyle \varphi \in \Phi }$.

On note ${\displaystyle \varepsilon (\varphi )}$ la signature de ${\displaystyle \varphi }$, définie comme la signature de l'unique permutation de ${\displaystyle [\![1,n]\!]}$ prolongeant de ${\displaystyle \varphi }$ et dont la restriction à ${\displaystyle [\![k+1,n]\!]}$ est également croissante.

On obtient alors ${\displaystyle \det A=\varepsilon (\varphi )\sum _{\varphi '\in \Phi }\varepsilon (\varphi ')D_{\varphi ,\varphi '}D'_{\varphi ,\varphi '}}$.

Si ${\displaystyle n=4}$ et ${\displaystyle k=2}$, cette formule donne un déterminant 4×4 comme la somme de 6 produits de déterminants 2×2. En notant, comme pour les coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes,

• ${\displaystyle p_{i,j}}$ le déterminant des lignes ${\displaystyle i,j}$ des deux premières colonnes et
• ${\displaystyle q_{i,j}}$ le déterminant des lignes ${\displaystyle i,j}$ des deux dernières colonnes,

on obtient par exemple :

${\displaystyle \det A=p_{1,2}q_{3,4}+q_{1,2}p_{3,4}+p_{1,3}q_{4,2}+q_{1,3}p_{4,2}+p_{1,4}q_{2,3}+q_{1,4}p_{2,3}}$

En développant les coefficients mais en regroupant cette fois-ci par lignes (ce qui ne change rien par propriétés de transposition du déterminant):

${\displaystyle {\begin{aligned}\det A=&+{\bigl (}(a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2})\times (a_{3,3}a_{4,4}-a_{4,3}a_{3,4}){\bigr )}\\&+{\bigl (}(a_{3,1}a_{4,2}-a_{3,2}a_{4,1})\times (a_{1,3}a_{2,4}-a_{2,3}a_{1,4}){\bigr )}\\&-{\bigl (}(a_{1,1}a_{2,3}-a_{2,1}a_{1,3})\times (a_{3,2}a_{4,4}-a_{4,2}a_{3,4}){\bigr )}\\&-{\bigl (}(a_{3,1}a_{4,3}-a_{4,1}a_{3,3})\times (a_{1,2}a_{2,4}-a_{2,2}a_{1,4}){\bigr )}\\&+{\bigl (}(a_{1,1}a_{2,4}-a_{2,1}a_{1,4})\times (a_{3,2}a_{4,3}-a_{4,2}a_{3,3}){\bigr )}\\&+{\bigl (}(a_{3,1}a_{4,4}-a_{4,1}a_{3,4})\times (a_{1,2}a_{2,3}-a_{2,2}a_{1,3}){\bigr )}\end{aligned}}}$

Cette formule se retrouve en utilisant les formules de Laplace puis en factorisant par les coefficients identiques, d'où l'apparition de signes.

• Richard Baltzer (trad. de l'allemand par Jules Hoüel), Théorie et applications des déterminants : avec l'indication des sources originales, Mallet-Bachelier, 1861 (lire en ligne), « Décomposition d'un déterminant en une somme de produits de déterminants partiels », p. 26-29
• (la) C. G. J. Jacobi, « De formatione et proprietatibus Determinantium », J. reine angew. Math., vol. 22,‎ 1841, p. 285-318 (§ 8, p. 298-299),
  traduit dans (de) C. G. J. Jacobi (éd. P. Stäckel), Ueber die Bildung und die Eigenschaften der Determinanten, Leipzig, Engelmann, 1896 (lire en ligne) (§ 8, p. 20-22)
• Frédéric Rotella et Pierre Borne, Théorie et pratique du calcul matriciel, Technip, 1995 (lire en ligne), « Développement de Laplace », p. 53-54

Gérard Eguether, « Calcul d'un déterminant par blocs », sur Institut Élie-Cartan de Lorraine

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