Diagramme (logique mathématique)

Soit ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ un langage du premier ordre, et ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ une ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-structure. Le diagramme de ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ est l'ensemble des formules atomiques ét négations de formules atomiques à paramètres dans ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ qui sont vraies dans ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. Plus précisément on étend ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ en un nouveau langage

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}:={\mathcal {L}}\cup \{c_{a}:a\in A\}}$

en ajoutant un nouveau symbole de constante ${\displaystyle c_{a}}$ pour chaque élément ${\displaystyle a}$ dans ${\displaystyle A,}$ où ${\displaystyle A}$ est l'ensemble sous-jacent à ${\displaystyle {\mathfrak {A}}.}$ On peut alors étendre ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ en la ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}}$-structure obtenue en interprétant chaque constante

${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{A}:=({\mathfrak {A}},a)_{a\in A}.}$

Le diagramme ${\displaystyle D({\mathfrak {A}})}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ est l'ensemble de toutes les ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}}$-formules atomiques closes et négations de ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}}$-formules atomiques closes qui sont vraies dans ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{A}}$, c'est-à-dire les ${\displaystyle \varphi (c_{a_{1}},...,c_{a_{n}})}$ avec ${\displaystyle \varphi }$ une ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-formule atomique ou négation de formule atomique, telles que ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\vDash \varphi (a_{1},...,a_{n})}$

Wilfrid Hodges, Model theory, Cambridge University Press, 1993 (ISBN 9780521304429, lire en ligne )

C. C. Chang et H. Jerome Keisler, Model Theory, Dover Publications, 2012, Third éd., 672 pages

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