Discussion:Cône tangent

• figures de quelques cônes tangents (au sens de Bouligand) (besoin d'outils graphiques permettant de faire de la coloration avec transparence),
• introduction d'autres notions de cône tangent, notamment celles qui sont utiles en dimension infinie,
• des exemples de cônes tangent et normal.

Jean-Charles.Gilbert (d) 30 novembre 2010 à 08:57

La propriété (datant de novembre 2010) selon laquelle (en dimension finie) pour ${\displaystyle C}$ convexe, ${\displaystyle \forall x\in {\overline {C}}\quad \operatorname {R} _{C}(x)=\mathbb {R} _{+}^{*}(C-x)}$, est fausse. Exemple : dans le plan, soit ${\displaystyle C}$ le demi-plan supérieur ouvert union la demi-droite ${\displaystyle [1,+\infty [\times \{0\}}$. Alors ${\displaystyle R_{C}(0)}$ est le demi-plan supérieur ouvert, qui ne contient pas ${\displaystyle C}$.

Même pour ce que, en rectifiant, j'avais commencé par laisser (« Dans un espace vectoriel de dimension finie, soit ${\displaystyle x}$ un point de l'adhérence d'un convexe ${\displaystyle C}$. Alors [${\displaystyle \operatorname {R} _{C}(x)\subset \mathbb {R} _{+}^{*}(C-x)}$, avec égalité si ${\displaystyle C}$ est fermé et] ${\displaystyle \operatorname {T} _{C}(x)={\overline {\operatorname {R} _{C}(x)}}}$ », il faudrait une source fiable or je n'en trouve que pour C fermé. Je dépose ça ici mais en attendant mieux, je préfère limiter les affirmations à l'essentiel : ${\displaystyle \operatorname {T} _{C}(x)={\overline {\mathbb {R} _{+}(C-x)}}}$, qui du coup est vrai même en dimension infinie.

Anne 31/1/17