Décalage de Bernoulli (langage formel)

Munissons ${\displaystyle \Lambda }$ d'une structure d'espace de probabilité ${\displaystyle (\Lambda ,{\mathcal {P}}(\Lambda ),\mu )}$, ce qui revient à assigner à chaque lettre ${\displaystyle i\in \Lambda }$ une fréquence d'apparition ${\displaystyle \mu (\{i\})=p_{i}}$. On introduit ensuite le produit d'espaces de probabilité :

${\displaystyle (\Lambda ^{\mathbb {N} },{\mathfrak {B}},m)=\prod _{n=0}^{+\infty }(\Lambda ,{\mathcal {P}}(\Lambda ),\mu )}$

σ est alors une application mesurable et on peut même montrer que l'entropie métrique d'un décalage de Bernoulli vaut :

${\displaystyle h(\sigma )=-\sum _{i\in \Lambda }p_{i}\log p_{i}}$

• Jacques Bernoulli

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