Matrice de Vandermonde

Si deux coefficients ${\displaystyle \alpha _{i}}$ sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.

Pour la réciproque, on peut procéder au calcul du déterminant, ce qui sera fait dans la prochaine section. Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogène VX = 0 pour X de composantes x₀, …, x_{n – 1} :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}+\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{1}^{2}x_{2}+&\dots +\alpha _{1}^{n-1}x_{n-1}=0\\&\vdots \\x_{0}+\alpha _{n}x_{1}+\alpha _{n}^{2}x_{2}+&\dots +\alpha _{n}^{n-1}x_{n-1}=0\end{cases}}}$

En introduisant le polynôme

${\displaystyle P(Y)=\sum _{i=0}^{n-1}x_{i}Y^{i}}$,

on voit que si X vérifie l'équation VX = 0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré ; donc P est nul, et ainsi X = 0, ce qui prouve que V est inversible.

Le déterminant ${\displaystyle D(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ de la matrice est un polynôme en ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$. De plus, ce déterminant s'annule lorsque deux des nombres ${\displaystyle \alpha _{i},\alpha _{j}}$ sont égaux puisqu'il y a alors deux lignes identiques. Par suite, ce déterminant est égal à

${\displaystyle P(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\cdot Q(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

où

${\displaystyle P(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})}$

et où ${\displaystyle Q}$ est lui-même un polynôme.

Cependant, le polynôme ${\displaystyle D}$ est homogène, de degré 0 + 1 + … + (n – 1) = n(n – 1)/2. Puisqu'il en est de même de ${\displaystyle P}$, le polynôme ${\displaystyle Q}$ est en fait une constante. Enfin, cette constante vaut 1 puisque dans les développements de ${\displaystyle D}$ et de ${\displaystyle P}$, le coefficient du monôme ${\displaystyle \alpha _{n}^{n-1}\alpha _{n-1}^{n-2}\ldots \alpha _{2}^{1}}$ a la même valeur non nulle égale à 1.