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Brooker est né à Hendon, dans la banlieue de Londres. Il commença à travailler comme commis à l’Asiatic Petroleum Company puis s'occupa de l'entreprise de son père.
Membre de la Territorial Force, la composante des bénévoles de l'Armée britannique et précurseur de la Territorial Army. Pendant la Première Guerre mondiale, il servit dans le Royal Army Medical Corps à Gallipoli, Thessalonique et en Palestine.
Avoir quitté l'armée en tant que sergent en 1919, Brooker épouse Lydia Wilson à Londres et en 1921 est tenté par l'offre de libre passage vers l'Australie. Brooker, sa femme et leur bébé arrivèrent à Melbourne le et s'installèrent en Tasmanie où il travailla comme ouvrier agricole, puis comme plombier à la chocolaterie Cadbury de Claremont.
Carrière politique
En tant que plombier, Brooker a été membre de la branche australienne de l’Amalgamated Engineering and Electrical Union et rejoignit le Parti travailliste australien, devenant candidat malheureux du parti pour le district de Franklin aux élections au parlement de Tasmanie. De nouveau candidat en 1934, il est élu le . il devient ministre des transports du gouvernement de Robert Cosgrove (1939-42), ministre du budget (1939-43) et ministre du Tourisme (1942-43). En , il est nommé ministre de l'Aménagement et des Travaux et, en 1946, ministre de la Reconstruction après la guerre.
En , le premier ministre Robert Cosgrove est inculpé pour corruption. Cosgrove se retire de son poste de premier ministre lors de son procès et Brooker le remplace le . Le procès s'achève en février de l'année suivante, et les accusations portées contre Cosgrove sont abandonnées. Brooker se retire après avoir été seulement deux mois premier ministre et Cosgrove reprend son poste, nommant Brooker ministre des Finances et ministre des Transports. Quatre mois après sa démission, Brooker décède à son domicile d'un œdème pulmonaire, le .