Ellipsométrie

Pour représenter les composantes, amplitudes et phase d'une donnée ${\displaystyle a}$ en excitation monochromatique, on utilise communément l'amplitude complexe ${\displaystyle {\underline {a}}}$, avec ${\displaystyle a=\Re ({\underline {a}}e^{-i\omega t})}$ (convention ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$) ou bien ${\displaystyle a=\Re ({\underline {a}}e^{i\omega t})}$ (convention ${\displaystyle e^{i\omega t}}$) avec, dans le cas de la lumière, ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi c}{\lambda }}}$ la fréquence angulaire de l'excitation de longueur d'onde ${\displaystyle \lambda }$.

Ainsi, avec l'écriture amplitude et phase ${\displaystyle {\underline {a}}=|a|e^{i\phi }}$, on a ${\displaystyle a=|a|\cos(\phi -\omega t)}$ (convention ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$).

La modification du champ électrique après réflexion sur l'échantillon peut être représentée par deux coefficients agissant sur chaque composante du champ électrique :

• le coefficient de réflexion de l'échantillon pour la polarisation parallèle au plan d'incidence

${\displaystyle {\underline {r}}_{p}={\frac {{\underline {E}}_{p}^{r}}{{\underline {E}}_{p}^{i}}}={\frac {|{\underline {E}}_{p}^{r}|e^{i\varphi _{p}^{r}}}{|{\underline {E}}_{p}^{i}|e^{i\varphi _{p}^{i}}}}=|{\underline {r}}_{p}|\;\!e^{i\delta _{p}}}$ (convention ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$, ${\displaystyle e^{-i\delta _{p}}}$ pour la convention ${\displaystyle e^{i\omega t}}$)

• le coefficient de réflexion de l'échantillon pour la polarisation perpendiculaire au plan d'incidence

${\displaystyle {\underline {r}}_{s}={\frac {{\underline {E}}_{s}^{r}}{{\underline {E}}_{s}^{i}}}={\frac {|{\underline {E}}_{s}^{r}|e^{i\varphi _{s}^{r}}}{|{\underline {E}}_{s}^{i}|e^{i\varphi _{s}^{i}}}}=|{\underline {r}}_{s}|\;\!e^{i\delta _{s}}.}$

Les modules ${\displaystyle |{\underline {r}}_{p}|}$ et ${\displaystyle |{\underline {r}}_{s}|}$ représentent l'atténuation de l'amplitude et leur argument, ${\displaystyle \delta _{p}}$ et ${\displaystyle \delta _{s}}$, le changement de phase après réflexion.

L'ellipsomètre ne mesure pas chacune des amplitudes de réflexion complexes des ondes ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle s}$ mais seulement leur rapport ${\displaystyle {\underline {\rho }}={\frac {{\underline {r}}_{p}}{{\underline {r}}_{s}}}={\frac {|{\underline {r}}_{p}|}{|{\underline {r}}_{s}}}\;e^{i(\delta _{p}-\delta _{s})}}$. C'est ce rapport des amplitudes de réflexion complexe qui est donné à partir des deux angles ellipsométriques ${\displaystyle \Psi }$ et ${\displaystyle \Delta }$ : ${\displaystyle {\underline {\rho }}=\tan \Psi \;\!e^{i\Delta }}$ (convention ${\displaystyle e^{i\omega t}}$). La tangente de l'angle ${\displaystyle \tan \Psi =\left|{\frac {{\underline {r}}_{p}}{{\underline {r}}_{s}}}\right|}$ est le rapport des modules et ${\displaystyle \Delta =\delta _{p}-\delta _{s}}$ la différence des phases. Pour la convention ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$, on a ${\displaystyle {\underline {\rho }}=\tan \Psi \cdot e^{-i\Delta }}$ et ${\displaystyle \Delta =-(\delta _{p}-\delta _{s})}$.

Les angles ${\displaystyle \Psi }$ et ${\displaystyle \Delta }$, caractéristiques de la surface étudiée, sont appelés angles ellipsométriques à la longueur d'onde ${\displaystyle \lambda }$ et à l'angle d'incidence ${\displaystyle \theta }$ considérés.

On a ${\displaystyle 0\leq \Psi <{\frac {\pi }{2}}}$ et ${\displaystyle 0\leq \Delta \leq 2\pi }$.

Considérons une surface et un faisceau incident de lumière polarisée. Une partie du faisceau est transmise ou absorbée à travers la surface, une autre est réfléchie. Dans les deux cas, l'état de polarisation du faisceau a changé. L'ellipsométrie est une technique qui mesure le changement de polarisation dû à la réflexion (ellipsométrie par réflexion) ou à la transmission (ellipsométrie par transmission). Cette modification de l'état de polarisation de la lumière incidente dépend de la surface étudiée.

La propagation du champ électrique suivant le faisceau ${\displaystyle Oz'}$ peut s'écrire dans un système d'axe cartésien à l'aide du vecteur de Jones, soit ${\displaystyle {\vec {E}}=\left|{\begin{array}{cc}{\underline {E}}_{x'}={\underline {A}}_{x'}\,e^{i\delta _{x}}&\\{\underline {E}}_{y'}={\underline {A}}_{y'}\,e^{i\delta _{y}}&\!\!\!\!\end{array}}\right.}$ (convention ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$, ${\displaystyle e^{-i\delta _{x,y}}}$ pour la convention ${\displaystyle e^{i\omega t}}$).

Les états de polarisation propres d'une onde en réflexion ou en transmission à l'interface de deux milieux isotropes sont les états linéaires, parallèles p et perpendiculaires s au plan d'incidence. Nous introduisons, alors :

• les deux composantes orthogonales du vecteur champ électrique incident ${\displaystyle {\underline {E}}_{p}^{i}}$ et ${\displaystyle {\underline {E}}_{s}^{i}}$(n'importe quel état de polarisation d'une onde incidence peut toujours être décomposé sur cette base).
• les composantes du vecteur champ électrique de la lumière réfléchie ${\displaystyle {\underline {E}}_{p}^{r}}$ et ${\displaystyle {\underline {E}}_{s}^{r}}$,
• les composantes du champ transmis ${\displaystyle {\underline {E}}_{p}^{t}}$ et ${\displaystyle {\underline {E}}_{s}^{t}}$.

Pour deux milieux 1 et 2 homogènes et isotropes la loi de Descartes s'applique : ${\displaystyle {\underline {N}}_{1}\sin {\underline {\theta }}_{1}={\underline {N}}_{2}\sin {\underline {\theta }}_{2}=\sin \theta _{i}}$ avec ${\displaystyle \theta _{i}}$ l'angle d'incidence du faisceau dans l'air, et ${\displaystyle {\underline {N}}=n+ik}$ l'indice de réfraction complexe (convention ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$, ${\displaystyle n-ik}$ pour la convention ${\displaystyle e^{i\omega t}}$). La dépendance spatio-temporelle de l'amplitude des ondes, solutions des équations de Maxwell, est de la forme ${\displaystyle e^{{\frac {i2\pi }{\lambda }}\left({\underline {N}}(\pm \cos {\underline {\theta }}z+\sin {\underline {\theta }}x)-ct\right)}}$. Dans la direction de propagation ${\displaystyle z'}$, l'amplitude varie comme ${\displaystyle e^{i2\pi n{\frac {z'}{\lambda }}}e^{-2\pi k{\frac {z'}{\lambda }}}}$ La partie réelle de l'indice complexe caractérise la longueur d'onde dans le matériau ${\displaystyle {\frac {\lambda }{n}}}$ et la partie imaginaire, appelée coefficient d'extinction, caractérise la longueur d'atténuation de l'intensité ${\displaystyle {\frac {\lambda }{4\pi k}}}$.

Les conditions de continuité de ${\displaystyle E_{x},E_{y},H_{x},H_{z}}$ pour ces ondes permettent d'établir les équations de Fresnel : ${\displaystyle {\underline {r}}\;\!_{p}={\frac {{\underline {E}}_{p}^{r}}{{\underline {E}}_{p}^{i}}}={\frac {{\underline {N}}_{2}\;\!\cos \;\!\theta _{1}-{\underline {N}}_{1}\;\!\cos \;\!\theta _{2}}{{\underline {N}}_{2}\;\!\cos \;\!\theta _{1}+{\underline {N}}_{1}\;\!\cos \;\!\theta _{2}}}}$ et ${\displaystyle {\underline {r}}\;\!_{s}={\frac {{\underline {E}}_{s}^{r}}{{\underline {E}}_{s}^{i}}}={\frac {{\underline {N}}_{1}\;\!\cos \;\!\theta _{1}-{\underline {N}}_{2}\;\!\cos \;\!\theta _{2}}{{\underline {N}}_{2}\;\!\cos \;\!\theta _{2}+{\underline {N}}_{1}\;\!\cos \;\!\theta _{1}}}}$.

${\displaystyle {\underline {r}}\;\!_{p}}$ et ${\displaystyle {\underline {r}}\;\!_{s}}$ sont les coefficients de réflexions complexes caractérisant la réflexion. Notons que dans le cas des milieux transparents le coefficient ${\displaystyle r_{p}}$ s'annule pour l'angle d'incidence ${\displaystyle \theta _{B}}$ tel que ${\displaystyle \tan \theta _{B}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}}$ ; c'est l'angle de Brewster.

Si on fait l'ellipsométrie d'un matériau isotrope massif d'indice ${\displaystyle n+ik}$, il est aisé de calculer cet indice à partir de ${\displaystyle \rho =\tan \Psi \;e^{-i\Delta }}$ (convention ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$) par la formule :

${\displaystyle n+ik=\left(1-\left({\frac {1-\rho }{1+\rho }}\tan \theta _{i}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\sin \theta _{i}}$. On obtient par la même formule ${\displaystyle n-ik}$ si on part de ${\displaystyle \rho =\tan \Psi \;e^{i\Delta }}$.

• (en) K. D. Möller, Optics, University Science Book, 1988
• (en) R. M. A. Azzam et N. M. Bashara, Ellipsometry and polarised light, New York, North-Holland, 1977

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