Ensemble de Besicovitch

Il existe principalement deux méthodes pour les construire, la méthode historique est celle des triangles, l'autre se basant sur un principe de dualité. On ne présente ici que la construction par dualité. Le principe de la méthode des triangles est d'effectuer des superpositions de triangles pour diminuer progressivement l'aire.

Pour cette méthode, on doit définir une notion de dualité spécifique. A un ensemble de points ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{2}}$, on associe l'ensemble de droites ${\displaystyle E^{*}}$ défini de la façon suivante : ${\displaystyle \forall (a,b)\in E,\ D_{y=ax+b}\in E^{*}}$, où ${\displaystyle D_{y=ax+b}}$ représente la droite d'équation cartésienne ${\displaystyle y=ax+b}$.

Le principe de la construction va être de trouver les propriétés que doit vérifier ${\displaystyle E}$ pour que ${\displaystyle E^{*}}$ soit un ensemble de Besicovitch. Plus exactement, on veut que l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {D}}(E)}$ constitué des supports des droites de ${\displaystyle E^{*}}$ soit un ensemble de Besicovitch, car formellement ${\displaystyle E^{*}}$ n'est pas un ensemble de points.

La première propriété d'un ensemble de Besicovitch est de contenir un segment dans chaque direction (ici on a des droites, ce qui revient au même), ce qui équivaut à ce que la projection de ${\displaystyle E}$ sur ${\displaystyle (Ox)}$ soit l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tout entier.

La deuxième propriété à vérifier est que ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {D}}(E))=0}$, ce qui implique que la projection de ${\displaystyle E}$ dans quasiment toutes les directions du plan (c'est-à-dire sauf un nombre fini de directions) soit de mesure de Lebesgue nulle. La démonstration peut être trouvée dans les références.

En conclusion, notre ensemble doit vérifier la condition suivante : la projection dans quasiment toutes les directions du plan doit être de mesure nulle, mais il doit exister une direction particulière telle que la projection dans cette direction soit ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tout entier.

Pour réaliser cette construction, on doit exhiber un ensemble vérifiant les propriétés précédentes. Cet ensemble est « l'ensemble de Cantor quatre coins ».

Il se construit à partir d'un carré de côté 1 que l'on note ${\displaystyle E_{0}}$. On découpe ce carré en 16 carrés de côté ${\displaystyle 1/4}$, puis on ne garde que les quatre carrés situés dans les coins de ${\displaystyle E_{0}}$ : on note ce nouvel ensemble ${\displaystyle E_{1}}$. On réitère le processus sur chacun des quatre carrés de ${\displaystyle E_{1}}$ pour obtenir ${\displaystyle E_{2}}$. On construit ainsi pour tout n l'ensemble ${\displaystyle E_{n}}$. L'ensemble de Cantor quatre coins est alors une sorte de limite de cette suite d'ensembles, plus formellement on note : ${\displaystyle E=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$.

On peut montrer que la projection de ${\displaystyle E}$ sur une droite faisant un angle ${\displaystyle \arctan(1/2)}$ avec un côté du carré est un segment, et que pour les autres angles, cette projection a une mesure de Lebesgue nulle. On a donc presque ce que l'on cherche.

On peut maintenant faire en sorte que la projection de ${\displaystyle E}$ sur l'axe des abscisses soit le segment ${\displaystyle [-1;1]}$. ${\displaystyle {\mathcal {D}}(E)}$ contient donc une droite de coefficient directeur a pour tout a dans cet intervalle. Si on fait une copie de ${\displaystyle {\mathcal {D}}(E)}$ à laquelle on fait subir une rotation d'angle ${\displaystyle \pi /2}$, on aura bien un ensemble de Besicovitch.

• Problème de l'aiguille de Kakeya

• (en) Kenneth Falconer (en), The Geometry of Fractal Sets, Cambridge University Press, 1985
• Bruno Grenet, Les ensembles de Besicovitch, rapport de TIPE.

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