Ensemble syndétique

Les définitions suivantes sont équivalentes :

• Un ensemble ${\displaystyle S}$ d'entiers naturels est syndétique s'il existe un entier ${\displaystyle p}$ tel que${\displaystyle S\cap \{a,a+1,a+2,\ldots ,a+p\}\neq \emptyset \quad {\text{pour tout entier naturel }}a}$.
• Un ensemble ${\displaystyle S}$ d'entiers naturels est syndétique s'il existe un ensemble fini ${\displaystyle F}$ d'entiers naturels tel que${\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup _{a\in F}S-a\quad \mathrm {o{\grave {u}}} \quad S-a=\{m\mid a+m\in S\}.}$
• Un ensemble ${\displaystyle S}$ d'entiers naturels est syndétique si la suite ${\displaystyle (s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n},\ldots )}$ de ses éléments, classés en ordre croissant, vérifie : il existe un entier ${\displaystyle p}$ tel que${\displaystyle s_{i+1}-s_{i}\leq p\quad {\text{pour tout }}i\geq 1.}$