Espace T1

En mathématiques, un espace T₁ (ou espace accessible, ou de Fréchet^{[note 1]}) est un cas particulier d'espace topologique, obéissant à l'axiome T₁ des axiomes de séparation.

Définition

Un espace topologique $X$ est dit T₁ si pour tout couple d'éléments distincts $(x,y)\in X^{2}$ , il existe un voisinage de x qui ne contient pas y et il existe un voisinage de $y$ qui ne contient pas $x$ ^[1].

Dans un espace T₀, le « et » est seulement un « ou » ; montrant au passage que tout espace T₁ est T₀.

Propriétés

Caractérisation

Un espace topologie est T₁ si et seulement si les singletons sont fermés^[2]^,^[3]. On en déduit que toute partie finie est fermée et que tout singleton est l'intersection de ses voisinages^[2].

Liens avec les autres axiomes de séparation

Article détaillé : Axiome de séparation (topologie).

L'axiome de séparation T₁ est plus fort que T₀ (voir supra), ainsi tous les espaces T₁ sont T₀. Cependant la réciproque est fausse : la topologie du point particulier (en) est un exemple d'espace T₀ qui n'est pas T₁^[4]. De façon analogue, tous les espaces T₂ sont T₁, en particulier les espaces métriques sont T₁. Mais réciproque est aussi fausse : certains espaces, comme la topologie cofinie sur un ensemble infini, sont T₁ sans être T₂^[2].

Stabilité par sous-espace et produit

Le caractère T₁ est stable par passage au sous-espace et par formation de produits. En effet, un sous-espace d'un espace T₁ hérite naturellement de cette propriété pour la topologie induite. De plus pour une famille $(X_{i})_{i\in I}$ d'espaces T₁, le produit $\prod _{i\in I}X_{i}$ est aussi T₁, car pour tout point $x=(x_{i})$ , le singleton $\{x\}$ s'écrit comme $\bigcap _{i\in I}\pi _{i}^{-1}(\{x_{i}\})$ qui est fermé.

Points limites

On définit ici un point limite $a\in X$ d'une partie $Y\subset X$ comme étant tel que tout voisinage de $a$ admette au moins un élément de $Y$ différent de $a$ .

On définit ici un point d'accumulation $a\in X$ d'une partie $Y\subset X$ comme étant tel que tout voisinage de $a$ admette une infinité d'éléments de $Y$ .

Une propriété fondamentale est que dans un espace T₁, les notions de point limite et de point d'accumulation sont synonymes.

Démonstration

Soit $X$ un espace T₁. Soit $Y\subset E$ . Soit $a\in X$ .

Supposons que $a$ est un point d'accumulation de $Y$ . Soit $V\in {\mathcal {V}}(a)$ . $V\cap Y$ est infini, donc contient a fortiori deux éléments distincts. Parmi ceux-ci, au moins un est différent de $a$ (sinon ils ne seraient pas distincts...).
Supposons que $a$ est un point limite de $Y$ . Soit $V\in {\mathcal {V}}(a)$ . Supposons $V\cap Y$ fini.

Alors $V\cap (Y\setminus \{a\})$ est également fini (par inclusion). On écrit alors $V\cap (Y\setminus \{a\})=\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ .
Comme chacun des $x_{i}$ est différent de $a$ , et qu'on est dans un espace T₁, on construit pour chacun un $V_{i}\in {\mathcal {V}}(a)$ tel que $x_{i}\notin V_{i}$ .

Ceci étant, posons ${\tilde {V}}=V\cap V_{0}\cap V_{1}\cap \ldots \cap V_{n}$ .
${\tilde {V}}\in {\mathcal {V}}(a)$ (par stabilité par intersections finies).
Or, on a clairement ${\tilde {V}}\cap (Y\setminus \{a\})=\emptyset$ . Absurde (par hypothèse).

Ainsi, dans un espace T₁, si une partie admet un point limite, alors cette partie et donc l'espace sont infinis.

Exemples et contre-exemples

Les espaces triviaux générés par l'ensemble vide ou un singleton sont trivialement T₁.
Tout espace T₂ est T₁. En particulier, les espaces métriques sont T₁.
La topologie cofinie sur un ensemble infini et la topologie de Zariski sur une variété algébrique sont T₁ mais pas T₂^[5].
Tout espace muni de la topologie du point particulier (en) et la topologie de Zariski sur le spectre premier d'un anneau ne sont pas T₁ mais sont T₀^[4]^,^[6].

Histoire

Les espaces T₁ ont été introduit par Frigyes Riesz dans un article publié en 1909^{[note 2]}^,^[7].

Définition

Propriétés

Caractérisation

Liens avec les autres axiomes de séparation

Stabilité par sous-espace et produit

Points limites

Exemples et contre-exemples

Histoire

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

Related Articles