Espace de Bergman

En analyse complexe, une branche des mathématiques, un espace de Bergman, nommé d'après Stefan Bergman, est un espace fonctionnel de fonctions holomorphes dans un domaine D du plan complexe qui ont un comportement suffisamment bon à la frontière pour qu'elles soient absolument intégrables. Plus précisément, ${\displaystyle A^{p}(D)}$ est l'espace des fonctions holomorphes dans D telles que la p-norme

${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f(x+iy)|^{p}\,dx\,dy\right)^{1/p}<\infty .}$

Donc ${\displaystyle A^{p}(D)}$ est le sous-espace des fonctions holomorphes qui sont dans l'espace L^p(D). Les espaces de Bergman sont des espaces de Banach, ce qui est une conséquence de l'estimation, valide sur les sous-ensembles compacts K de D:

${\displaystyle (1)\quad \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{p}(D)}.}$

Donc la convergence d'une suite de fonctions holomorphes dans L^p(D) implique alors la convergence sur tout compact, et ainsi la fonction limite est aussi holomorphe.

Si p = 2, alors ${\displaystyle A^{p}(D)}$ est un espace de Hilbert à noyau reproduisant, dont le noyau est donné par le noyau de Bergman.