Faisceau de cercles

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En géométrie, un faisceau de cercles est un ensemble complet de cercles tels que deux quelconques d'entre eux ont le même axe radical.

Étant donnés un cercle (c₀) et une droite (d), il existe une infinité de cercles (c) tels que l'axe radical de chacun d'eux et du cercle (c₀) soit la droite (d). On dit que ces cercles (et le cercle c₀) forment un faisceau.

Un faisceau est déterminé par deux cercles (c₁) et (c₂) non concentriques.

Les centres des cercles (c) sont situés sur la droite (Δ) perpendiculaire à (d) passant par le centre de (c₀). (Δ) est la droite des centres du faisceau.

Deux cercles quelconques (c₁) et (c₂) du faisceau admettent (d) comme axe radical.

Faisceau liés à deux cercles

Un faisceau est déterminé par deux cercles (c₁) et (c₂) non concentriques.

Faisceau à points de base

Si les deux cercles sont concourants, alors le faisceau de cercles est l'ensemble des cercles passant par ces deux points A et B. La droite (AB) est l'axe radical.

La droite des centres des cercles du faisceau est alors la médiatrice du segment [AB].

Faisceau de cercles tangents

Si les deux cercles sont tangents en un point I, alors le faisceau de cercles est l'ensemble des cercles tangents à la droite perpendiculaire en I à la droite O₁O₂ et passant par I. Cette droite est l'axe radical.

Faisceau à points limites (points de Poncelet)

Si les deux cercles ne sont pas concourants, on parle de faisceau de Poncelet.

Les deux points limites (cercles de rayon nul du faisceau) U et V sont les projections orthogonales des points d'intersection des tangentes aux cercles (c₁) et (c₂) sur la droite O₁O₂. Ces deux points sont appelés points limites ou points de Poncelet.

Faisceaux de cercles orthogonaux

Interprétation analytique

Dans un repère orthonormé, l'équation cartésienne d'un cercle peut se mettre sous la forme $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ ; si le second cercle a pour équation $x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c'=0$ , on voit que l'axe radical aura pour équation $(a-a')x+(b-b')y+c-c'=0\iff Ax+By+C=0$ , et que tous les cercles d'équation $x^{2}+y^{2}+(a+At)x+(b+Bt)y+c+Ct=0$ auront le même axe radical ; cette famille d'équations définit un faisceau de cercles (pour les valeurs de $t$ pour lesquelles l'équation possède des solutions réelles).

Plus généralement, étant données deux courbes algébriques d'équations $A:P(x,y)=0$ et $B:Q(x,y)=0$ , le faisceau (linéaire) de base $(A,B)$ est l'ensemble des courbes d'équation $aP(x,y)+bQ(x,y)=0$ ( $P$ et $Q$ étant des polynômes) ; on se place souvent dans le cadre projectif, prenant alors des polynômes homogènes de la forme $P(X,Y,T)$ .