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Fonction de Stumpff

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Les fonctions de Stumpff, du nom du mathématicien Karl Stumpff (en), sont des développements en série entière utilisés en mécanique céleste dans la résolution de l'équation de Kepler.

Valeurs particulières

La fonction $c_{n}(x)$ de Stumpff, est définie par :

c_{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{\frac {(-1)^{k}}{(2k+n)!}}x^{k}}.

La série converge pour tout réel $x$ .

On remarque que :

$c_{0}(x^{2})=\cos(x)$
$c_{1}(x^{2})={\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)$ , où sinc désigne le sinus cardinal
$c_{2}(x^{2})={\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}$
$c_{3}(x^{2})={\frac {x-\sin(x)}{x^{3}}}$

Ce sont essentiellement ces quatre fonctions qui interviennent dans la théorie de l'équation de Kepler elliptique.

Il suffit d'utiliser $c_{n}(-x^{2})$ pour passer au cas hyperbolique :

$c_{0}(-x^{2})=\cosh(x)$
$c_{1}(-x^{2})={\frac {\sinh(x)}{x}}$

Propriétés

Les fonctions de Stumpff satisfont la relation de récurrence :

\forall n\in \mathbb {N} ,\,xc_{n+2}(x)={\frac {1}{n!}}-c_{n}(x)

On a également :

2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}c_{n}(x)=nc_{n+2}(x)-c_{n+1}(x)

Pour tout entier positif n, $c_{n}(0)={\frac {1}{n!}}$ .

Utilité

Références

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