Fonction de taux
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En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités une fonction de taux est une fonction positive semi-continue inférieurement. Ces fonctions interviennent dans l'étude des grandes déviations et permettent de quantifier les probabilités d'évènements rares.
Soit un espace topologique séparé et une fonction positive à valeurs dans la droite réelle achevée. On dit que est une fonction de taux si elle est semi-continue inférieurement, c'est-à-dire que :
![{\displaystyle I:X\longrightarrow [0,+\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47ae3bed077ed8f722192c5fb1a3535a338bd31)
pour tout l'ensemble est fermé.
![{\displaystyle I^{-1}([0,a])=\{x\in X,\,I(x)\leq a\}\subset X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9ba02ecaf0cf224a16f52fab57beb89a1e20ec)
Si de plus ces ensembles sont tous compacts alors on dit que est une bonne fonction de taux.
![{\displaystyle K(t)=\ln \mathbb {E} [e^{\langle t,X\rangle }]\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}~~~\forall t\in \mathbb {R} ^{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8fa26897ee8d3a7cddc688fb202885f7e44c80)
