Fonction gamma d'Hadamard

Contrairement à la fonction gamma classique, la fonction gamma d'Hadamard H(x) est une fonction entière, c'est-à-dire qu'elle n'a pas de pôles dans son domaine. Elle satisfait l'équation fonctionnelle

${\displaystyle H(x+1)=xH(x)+{\frac {1}{\Gamma (1-x)}},}$

avec la convention que ${\displaystyle {\tfrac {1}{\Gamma (1-x)}}}$ est pris égal à 0 pour les valeurs entières positives de x.

${\displaystyle \Gamma (x)-H(x)}$	${\displaystyle \ln(\Gamma (x)-H(x))}$	${\displaystyle \left|\Gamma (x)-H(x)\right|}$	${\displaystyle {\frac {H(x)}{\Gamma (x)}}}$

La fonction gamma d'Hadamard peut également être exprimée par

${\displaystyle H(x)={\frac {\psi \left(1-{\frac {x}{2}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)}{2\Gamma (1-x)}}}$

et par

${\displaystyle H(x)=\Gamma (x)\left[1+{\frac {\sin(\pi x)}{2\pi }}\left\{\psi \left({\dfrac {x}{2}}\right)-\psi \left({\dfrac {x+1}{2}}\right)\right\}\right],}$

où ψ(x) désigne la fonction digamma.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hadamard's gamma function » (voir la liste des auteurs).
•  M. J. Hadamard, « Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière », Œuvres de Jacques Hadamard, Paris, Centre National de la Recherche Scientifiques,‎ 1968 (lire en ligne)
• (en) H. M. Srivastava et Choi Junesang, Zeta and Q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals, Elsevier insights, 2012, 124 p. (ISBN 978-0-12-385218-2)
• (en) « Introduction to the Gamma Function », The Wolfram Functions Site, Wolfram Research, Inc (consulté le 27 février 2016)

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