Fonction hypergéometrique d'un argument matriciel

Soit ${\displaystyle p\geq 0}$ et ${\displaystyle q\geq 0}$ deux entiers, et ${\displaystyle X}$ une matrice carrée ${\displaystyle m\times m}$ symétrique à coefficients complexes. La fonction hypergéométrique d'un argument matriciel ${\displaystyle X}$ et de paramètre ${\displaystyle \alpha >0}$ est définie comme

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot C_{\kappa }^{(\alpha )}(X),}$

où ${\displaystyle \kappa \vdash k}$ désigne une partition de ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle (a_{i})_{\kappa }^{(\alpha )}}$ est le symbole de Pochhammer généralisé, et ${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)}$ est la normalisation "C" de la fonction de Jack (en).

Si ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont deux matrices symétriques ${\displaystyle m\times m}$ à coefficients complexes, alors la fonction hypergéométrique à deux arguments matriciels est définie comme :

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot {\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)C_{\kappa }^{(\alpha )}(Y)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I_{m})}},}$

où ${\displaystyle I_{m}}$ est la matrice d'identité de taille ${\displaystyle m}$.

Contrairement à d'autres fonctions d'argument matriciel, telles que l'exponentielle matricielle, qui produisent des valeurs matricielles, la fonction hypergéométrique de (un ou deux) arguments matriciels est scalaire.