Fonction C∞ à support compact

La fonction d'une variable ${\displaystyle \Psi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } définie par

${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}{\rm {e}}^{-{\frac {1}{(1-x^{2})}}}&{\mbox{ si }}|x|<1\\0&{\mbox{ sinon}}\end{cases}}}$

est à support compact. La preuve qu'elle est infiniment dérivable peut se faire par récurrence. Par ailleurs, la fonction peut être vue comme la fonction gaussienne ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-y^{2}}}$ qu'on a « fait rentrer dans le disque unité » par le changement de variables ${\displaystyle y^{2}={\frac {1}{1-x^{2}}}}$ qui envoie ${\displaystyle x=\pm 1}$ sur ${\displaystyle y=\infty }$.

Un exemple simple de fonction ${\displaystyle C^{\infty }}$ à support compact à ${\displaystyle n}$ variables est obtenu en prenant le produit de ${\displaystyle n}$ copies de la fonction à une variable ci-dessus :

${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n})}$.

Sur ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}$, la fonction

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}\right)&{\text{si }}\|x\|<1\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}}$

est ${\displaystyle C^{\infty }}$ et son support est la boule fermée ${\displaystyle \mathrm {B} (0,1)}$ pour la norme ${\displaystyle \|\cdot \|}$ utilisée.

• Une fonction ${\displaystyle C^{\infty }}$ à support compact ne peut pas être analytique, à moins d'être identiquement nulle. C'est une conséquence directe du théorème d'identité.
• L'espace des fonctions ${\displaystyle C^{\infty }}$ à support compact est stable par de nombreuses opérations. Par exemple, la somme, le produit, le produit de convolution de deux fonctions ${\displaystyle C^{\infty }}$ à support compact est encore une fonction ${\displaystyle C^{\infty }}$ à support compact.

On munit ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ de la topologie suivante : les voisinages d'un élément de l'espace sont — comme dans tout groupe topologique — les translatés par cet élément des voisinages de 0, et un ensemble ${\displaystyle V\subset {\mathcal {D}}(\Omega )}$ est un voisinage de la fonction nulle si, pour tout compact ${\displaystyle K}$ de ${\displaystyle \Omega }$, il existe un entier ${\displaystyle m>0}$ tel que ${\displaystyle V}$ contienne l'ensemble suivant :

${\displaystyle A_{K,m}:=\left\{\varphi \in {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )~\left|~\max _{\alpha \in \mathbb {N} ^{N} \atop |\alpha |\leq m}\|\partial ^{\alpha }\varphi \|_{\infty }\leq {\frac {1}{m}}\right.\right\}}$,

où ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )}$ désigne l'ensemble des fonctions de ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ dont le support est inclus dans ${\displaystyle K}$, et ${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$ est la norme de ${\displaystyle f}$ au sens de la convergence uniforme (pour ${\displaystyle f}$ continue à support compact, c'est le maximum global de ${\displaystyle |f|}$).

Autrement dit, si ${\displaystyle \Omega }$ est la réunion d'une suite croissante de compacts ${\displaystyle K_{n}}$, une base de voisinages de 0 est constituée des ${\displaystyle V_{m}:=\cup _{n\in \mathbb {N} }A_{K_{n},m_{n}}}$, quand ${\displaystyle m=\left(m_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ parcourt l'ensemble (non dénombrable) des suites à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$.

Muni de cette topologie, ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ est un espace localement convexe, non métrisable^[1] puisqu'il est maigre dans lui-même et séquentiellement complet^[1] (il est même complet^[2]).

Dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega ),}$ la convergence vers 0 d'une suite de fonctions ${\displaystyle \varphi _{n}}$ se traduit par l'existence d'un compact ${\displaystyle K}$ de ${\displaystyle \Omega }$, contenant les supports de toutes les ${\displaystyle \varphi _{n}}$ à partir d'un certain rang, et tel que ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ainsi que toutes ses dérivées tendent vers 0 uniformément sur ${\displaystyle K}$.