Fonction univalente

Toute transformation de Möbius ${\displaystyle \phi _{a}}$ d'un disque unitaire ouvert dans lui-même, ${\displaystyle \phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\bar {a}}z}},}$ où ${\displaystyle |a|\leq 1,}$ est univalente.

On peut démontrer que si ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle \Omega }$ sont deux ensembles ouverts connexes dans le plan complexe, et

${\displaystyle f:G\to \Omega }$

est une fonction univalente tel que ${\displaystyle f(G)=\Omega }$ (c'est-à-dire que ${\displaystyle f}$ est une surjection, donc une bijection), alors la dérivée de ${\displaystyle f}$ ne s'annule jamais, et la bijection réciproque de ${\displaystyle f}$, notée ${\displaystyle f^{-1}}$, est également holomorphe. De plus, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées,

${\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}}$

pour tous ${\displaystyle z}$ dans ${\displaystyle G}$