Fonction zêta d'Arakawa-Kaneko

La fonction zêta d'Arakawa-Kaneko ${\displaystyle \xi _{k}(s)}$ est définie par une transformation de Mellin :

${\displaystyle \xi _{k}(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\mathrm {Li} _{k}(1-\mathrm {e} ^{-t})\,\mathrm {d} t\ }$

où Li_k désigne le k -ième polylogarithme

${\displaystyle \mathrm {Li} _{k}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{k}}}\ .}$

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L'intégrale converge pour ${\displaystyle \Re (s)>0}$ et ${\displaystyle \xi _{k}(s)}$ admet un prolongement analytique sur l'ensemble du plan complexe en tant que fonction entière.

Le cas particulier k = 1 donne ${\displaystyle \xi _{1}(s)=s\zeta (s+1)}$ où ${\displaystyle \zeta }$ est la fonction zêta de Riemann classique.

Le cas particulier s = 1 donne aussi remarquablement ${\displaystyle \xi _{k}(1)=\zeta (k+1)}$ .

Les valeurs aux nombres entiers sont liées à la fonction zêta multiple par

${\displaystyle \xi _{k}(m)=\zeta _{m}^{*}(k,1,\ldots ,1)}$

où

${\displaystyle \zeta _{n}^{*}(k_{1},\dots ,k_{n-1},k_{n})=\sum _{0<m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{n}}{\frac {1}{m_{1}^{k_{1}}\cdots m_{n-1}^{k_{n-1}}m_{n}^{k_{n}}}}\ .}$