Formule d'interpolation de Thiele

En mathématiques, la formule d'interpolation de Thiele est une formule qui définit une fonction rationnelle ${\displaystyle f(x)}$ à partir d'un ensemble fini d'entrées ${\displaystyle x_{i}}$ et leurs valeurs de fonction ${\displaystyle f(x_{i})}$ Le problème consistant à générer une fonction dont le graphe passe par un ensemble donné de valeurs de la fonction est appelé interpolation. Cette formule d'interpolation porte le nom du mathématicien danois Thorvald N. Thiele . Elle s'exprime sous forme de fraction continue, où ρ représente la différence inverse :

${\displaystyle f(x)=f(x_{1})+{\cfrac {x-x_{1}}{\rho (x_{1},x_{2})+{\cfrac {x-x_{2}}{\rho _{2}(x_{1},x_{2},x_{3})-f(x_{1})+{\cfrac {x-x_{3}}{\rho _{3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})-\rho (x_{1},x_{2})+\cdots }}}}}}}$

${\displaystyle \rho _{n}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n+1})-\rho _{n-2}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n-1})+{\cfrac {x-x_{n+1}}{\rho _{n+1}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n+2})-\rho _{n-1}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})+\cdots }},}$

tandis que la ${\displaystyle n}$-ième différence réciproque est définie comme

${\displaystyle \rho _{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})={\frac {x_{1}-x_{n+1}}{\rho _{n-1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})-\rho _{n-1}(x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n+1})}}+\rho _{n-2}(x_{2},\ldots ,x_{n})}$.

Les deux termes ${\displaystyle \rho _{n-2}}$ sont différents et ne peuvent être annulés.