Formule exponentielle

Pour toute série formelle de la forme $${\displaystyle f(x)=a_{1}x+{a_{2} \over 2}x^{2}+{a_{3} \over 6}x^{3}+\cdots +{a_{n} \over n!}x^{n}+\cdots \,}$$ On a $${\displaystyle \exp f(x)=\mathrm {e} ^{f(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n},\,}$$ où $${\displaystyle b_{n}=\sum _{\pi =\left\{\,S_{1},\,\dots ,\,S_{k}\,\right\}}a_{\left|S_{1}\right|}\cdots a_{\left|S_{k}\right|},}$$ et l'indice π parcourt la liste de toutes les partitions {S₁,..., S_k} de l'ensemble {1,..., n}. (Lorsque k = 0, le produit est vide et par définition égal à 1).

On peut écrire la formule sous la forme suivante : $${\displaystyle b_{n}=B_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),}$$ Et ainsi $${\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},}$$ où B_n(a₁,..., a_n) est le n-ième polynôme de Bell complet.

Autre possibilité, la formule exponentielle peut être écrite en utilisant l'indice de cycle du groupe symétrique, comme suit :$${\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{x^{n} \over n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }Z_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})x^{n},}$$ où Z_n représente le polynôme d'indice de cycle, pour le groupe symétrique ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$ défini comme : $${\displaystyle Z_{n}(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}x_{1}^{\sigma _{1}}\cdots x_{n}^{\sigma _{n}}}$$et ${\displaystyle \sigma _{j}}$ désigne le nombre de cycles de ${\displaystyle \sigma }$ de taille ${\displaystyle j\in \{1,\cdots ,n\}}$. Ceci est une conséquence de la relation générale entre Z_n et les polynômes de Bell : $${\displaystyle Z_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={1 \over n!}B_{n}(0!\,x_{1},1!\,x_{2},\dots ,(n-1)!\,x_{n}).}$$