Groupe de Clifford

On note K un corps commutatif, V un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur K,Q une forme quadratique non dégénérée sur V et φ la forme bilinéaire symétrique associé à Q. On note α l'involution principale de l'algèbre de Clifford de Q.

Le groupe de Clifford ${\displaystyle \Gamma \,}$ est défini comme étant l'ensemble des éléments inversibles x de l'algèbre de Clifford tels que

${\displaystyle xv\alpha (x)^{-1}\in V\,}$, où

pour tout v dans V. Cette formule définit aussi une action du groupe de Clifford sur l'espace vectoriel V qui conserve la norme Q et donc, donne un homomorphisme du groupe de Clifford vers le groupe orthogonal. Le groupe de Clifford contient tous les éléments r de V de norme différente de zéro, et ceux-ci agissent sur V par les réflexions correspondantes que prennent v vers v − φ(v, r)r/Q(r) (En caractéristique 2, ceux-ci sont appelés des transvections orthogonales plutôt que réflexions).

Beaucoup d'auteurs définissent le groupe de Clifford légèrement différemment, en remplaçant l'action ${\displaystyle xv~\alpha (x)^{-1}\,}$ par ${\displaystyle xvx^{-1}\,}$. Ceci produit le même groupe de Clifford, mais l'action du groupe de Clifford sur V est changée légèrement : l'action des éléments impairs ${\displaystyle \Gamma ^{1}\,}$ du groupe de Clifford est multiplié par un facteur extérieur à -1.

L'action utilisée ici possède plusieurs petits avantages : elle est conforme aux conventions usuelles de signes de superalgèbre, les éléments de V correspondent aux reflexions et dans les dimensions impaires, l'application du groupe de Clifford vers le groupe orthogonal est sur, et le noyau n'est pas plus grand que K^*. L'utilisation de l'action ${\displaystyle \alpha (x)vx^{-1}\,}$ à la place de ${\displaystyle xv\alpha (x)^{-1}\,}$ ne fait pas de différence : elle produit le même groupe de Clifford avec la même action sur V.

Le groupe de Clifford ${\displaystyle \Gamma \,}$ est l'union disjointe de deux sous-ensemble ${\displaystyle \Gamma ^{0}\,}$ et ${\displaystyle \Gamma ^{1}\,}$, où ${\displaystyle \Gamma ^{i}\,}$ est le sous-ensemble des éléments de degré i. Le sous-ensemble ${\displaystyle \Gamma ^{0}\,}$ est un sous-groupe d'indice 2 dans ${\displaystyle \Gamma \,}$.

Si V est de dimension finie avec une forme bilinéaire non dégénérée alors les applications du groupe de Clifford sur le groupe orthogonal de V et le noyau consiste en éléments différents de zéro du corps K. Ceci conduit aux suites exactes

${\displaystyle 1\rightarrow K^{*}\rightarrow \Gamma \rightarrow O_{V}(K)\rightarrow 1,\,}$

${\displaystyle 1\rightarrow K^{*}\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow SO_{V}(K)\rightarrow 1.\,}$

En caractéristique arbitraire, la norme de spin Q est définie sur le groupe de Clifford par

${\displaystyle Q(x)=x^{t}x\,}$

C'est un homomorphisme du groupe de Clifford vers le groupe K^* des éléments différents de zéro de K. Il coïncide avec la forme quadratique Q de V lorsque V est identifié avec un sous-espace d'algèbre de Clifford. Plusieurs auteurs définissent la norme de spin légèrement différemment, c’est-à-dire qu'elle diffère de celle utilisée ici par un facteur de - 1, 2, ou - 2 sur ${\displaystyle \Gamma ^{1}\,}$. La différence n'est pas très importante.

Les éléments différents de zéro de K ont une norme de spin dans le groupe K^*2 de carrés des éléments différents de zéro du corps K. Donc, lorsque V est de dimension finie et non-singulière, nous obtenons une application induite à partir du groupe orthogonal de V vers le groupe K^*/K^*2, aussi appelé la norme de spin. La norme de spin d'une réflexion d'un vecteur r possède comme image Q(r) dans K^*/K^*2, et cette propriété le définit uniquement dans le groupe orthogonal. Ceci donne les suites exactes :

${\displaystyle 1\rightarrow \{\pm 1\}\rightarrow Pin_{V}(K)\rightarrow O_{V}(K)\rightarrow K^{*}/K^{*2},\,}$

${\displaystyle 1\rightarrow \{\pm 1\}\rightarrow Spin_{V}(K)\rightarrow SO_{V}(K)\rightarrow K^{*}/K^{*2}.\,}$

Note : En caractéristique 2, le groupe {±1} possède simplement un élément.

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