Générateur d'octades miraculeux

Le générateur d'octades miraculeux (MOG) est un tableau 4 × 6 de combinaisons susceptible de décrire n'importe quel point de l'espace de dimension 24. Il préserve toutes les symétries et les sous-groupes maximaux du groupe de Mathieu M₂₄. Il est donc très commode pour étudier ce groupe.

Le MOG permet de construire – rapidement et sans ordinateur – le système de Steiner S(5,8,24) dont le groupe de Mathieu M₂₄ est le groupe d'automorphismes.

Le générateur d'octades miraculeux (MOG) permet également de vérifier rapidement les mots du code binaire de Golay. À chaque élément du MOG, on associe un « 1 » ou un « 0 », que l'on représente en général respectivement par un astérisque ou un espace. Pour les six colonnes et la première ligne, on met en place un compteur, qui est le nombre d'astérisques sur cette rangée. Pour qu'un ensemble de 24 coordonnées constitue un mot de code du code binaire de Golay, l'un des critères est que les sept compteurs aient la même parité. L'autre condition est que les scores de chaque colonne forment un mot de l'hexacode. Le score d'une colonne peut être 0, 1, ${\displaystyle \omega }$ ou ${\displaystyle {\overline {\omega }}}$, selon le coefficient associé. Le score d'une colonne est évalué selon les règles suivantes :

• si une colonne contient exactement un astérisque, elle a un score de 0 si elle se trouve sur la première ligne, de 1 si elle se trouve sur la deuxième ligne, de ${\displaystyle \omega }$ sur la troisième ligne et de ${\displaystyle {\overline {\omega }}}$ sur la dernière ligne ;
• remplacer tous les coefficients d'une colonne par leur complément (c'est-à-dire permuter les astérisques et les blancs ou les 0 et les 1) ne change pas son score ;
• changer le coefficient de la première ligne n'affecte pas non plus le score d'une colonne.

On peut reconstruire un mot de code si on connaît sa première ligne et son score, ce qui entraîne qu'il existe exactement 4096 mots dans le code binaire de Golay.

John Horton Conway a imaginé un tableau 4 × 3 analogue appelé MiniMOG. Le MiniMOG joue le même rôle pour le groupe de Mathieu M₁₂ et le code de Golay ternaire que le MOG pour M₂₄ et le code de Golay binaire. Au lieu d'utiliser l'hexacode (sur le corps à quatre éléments), le MiniMOG utilise un tétracode (sur le corps à trois éléments).