Homologie persistante

Soit une fonction à valeurs réelles sur un complexe simplicial ${\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} }$ croissante, c'est-à-dire vérifiant que ${\displaystyle f(\sigma )\leq f(\tau )}$ pour ${\displaystyle \sigma }$ une face de ${\displaystyle \tau }$ dans ${\displaystyle K}$. Pour chaque ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ on définit l'ensemble de sous-niveau ${\displaystyle K_{a}=f^{-1}((-\infty ,a])}$, c'est un sous-complexe de K. On obtient la filtration

${\displaystyle \emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K}$

Pour tous ${\displaystyle 0\leq i\leq j\leq n}$, l'inclusion ${\displaystyle K_{i}\hookrightarrow K_{j}}$ induit un homomorphisme ${\displaystyle f_{p}^{i,j}:H_{p}(K_{i})\rightarrow H_{p}(K_{j})}$ sur les groupes d'homologie simpliciale de dimension ${\displaystyle p}$. Les groupes d'homologie persistante de dimension ${\displaystyle p}$ sont les images de ces homomorphismes, autrement dit ce sont les classes d'homologie présentes à l'étape ${\displaystyle i}$ et persistant au moins jusqu'à l'étape ${\displaystyle j}$. Les nombres Betti persistants ${\displaystyle \beta _{p}^{i,j}}$ sont les rangs de ces groupes. Pour ${\displaystyle p=0}$, les classes d'homologie correspondent composantes connexes du sous-niveau de l'étape correspondante^[2].

Un module de persistance sur un ensemble partiellement ordonné ${\displaystyle P}$ est un ensemble d'espaces vectoriels ${\displaystyle U_{t}}$ indicés par les éléments de ${\displaystyle P}$, munis d'applications linéaires ${\displaystyle u_{t}^{s}:U_{s}\to U_{t}}$ pour tous ${\displaystyle s\leq t}$, et vérifiant que ${\displaystyle u_{t}^{t}}$ est l'application identité et que ${\displaystyle u_{t}^{s}\circ u_{s}^{r}=u_{t}^{r}}$ pour tous ${\displaystyle r\leq s\leq t}$. Autrement dit, un module de persistance est un foncteur de ${\displaystyle (P,\leq )}$, vu comme une catégorie, dans la catégorie des espaces vectoriels (ou des ${\displaystyle R}$-modules).

Lorsque l'ensemble partiellement ordonné ${\displaystyle P}$ est ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ et que chaque espace vectoriel ${\displaystyle U_{t}}$ est de dimension finie, William Crawley-Boevey a montré en 2015 que l'on peut décomposer le module de persistance ${\displaystyle U}$ de manière essentiellement unique en somme directe de modules d'intervalles^[3]

${\displaystyle U\simeq \bigoplus _{I\in {\mathcal {B}}}k_{I}}$.

Où ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est un multi-ensemble d'intervalles de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (le même intervalle peut être présent plus d'une fois). Et pour un intervalle ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ un intervalle, on définit le module de persistance ${\displaystyle k_{I}}$, appelé module d'intervalle, avec ${\displaystyle (k_{I})_{t}=k}$ si ${\displaystyle t\in I}$ et ${\displaystyle 0}$ autrement. Et les morphismes sont l'identité entre les copies de ${\displaystyle k}$ à l'interieur de ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle 0}$ ailleurs.

Le multi-ensemble ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{I_{j}=[n_{j},m_{j}]\}}$ s'appelle le code-barre de persistance et l'ensemble ${\displaystyle \{(n_{j},m_{j})\,:\,[n_{j},m_{j}]\in {\mathcal {B}}\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ s'appelle le diagramme de persistance de ${\displaystyle U}$. En particulier la donnée de l'homologie en chaque étape d'une filtration simpliciale est un module de persistance et dans ce cas ${\displaystyle n_{j}}$ est l'étape d'apparation d'un cycle (en homologie) et ${\displaystyle m_{j}}$ l'étape à laquelle il disparait.