Intégrale de Jacobi

Dans le système co-rotationnel, les accélérations peuvent être exprimées comme les dérivées d'une simple fonction scalaire

${\displaystyle U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})+{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}}$

En utilisant une représentation lagrangienne des équations du mouvement :

[Eq.1] ${\displaystyle {\ddot {x}}-2n{\dot {y}}={\frac {\delta U}{\delta x}}}$

[Eq.2] ${\displaystyle {\ddot {y}}+2n{\dot {x}}={\frac {\delta U}{\delta y}}}$

[Eq.3] ${\displaystyle {\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta z}}}$

En multipliant respectivement les [Eq.1], [Eq.2] et [Eq.3] par ${\displaystyle {\dot {x}},{\dot {y}}}$ et ${\displaystyle {\dot {z}}}$ et en les additionnant, on obtient

${\displaystyle {\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta x}}{\dot {x}}+{\frac {\delta U}{\delta y}}{\dot {y}}+{\frac {\delta U}{\delta z}}{\dot {z}}={\frac {dU}{dt}}}$

L'intégration fournit

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=2U-C_{J}}$

où C_J est la constante d'intégration.

Le terme de gauche représente le carré de la vitesse v de la particule test dans le système co-rotationnel.

¹Ce système de coordonnées est non inertiel, ce qui explique l'apparition de termes relatifs aux accélérations centrifuge et de Coriolis.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacobi integral » (voir la liste des auteurs).

• [Curtis 2013] (en) Howard D. Curtis, Orbital mechanics : for engineering students, Amsterdam, Butterworth-Heinemann, coll. « Elsevier aerospace engineering series », octobre 2013, 3^e éd. (1^re éd. décembre 2004), XIII-751 p., 19 × 24,5 cm (ISBN 978-0-08-097747-8, EAN 9780080977478, OCLC 864895302, BNF 44628329, DOI 10.1016/C2011-0-69685-1, SUDOC 174928068, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Gurzadyan 1996] (en) Grigor A. Gurzadyan (trad. du russe), Theory of interplanetary flights, Amsterdam, Gordon & Breach, hors coll., octobre 1996 (réimpr. juin 2017), 1^re éd., XII-383 p., 17,4 × 24,6 cm (ISBN 978-1-138-40132-7 et 978-2-919875-15-3, EAN 9781138401327, OCLC 36413004, BNF 37524292, DOI 10.1201/9781003071716, S2CID 229448575, SUDOC 028052447, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Musielak et Quarles 2017] (en) Zdzislaw Musielak et Billy Quarles, Three body dynamics and its applications to exoplanets, Cham, Springer, coll. « Springer briefs / in astronomy », juillet 2017, 1^re éd., VIII-109 p., 15,5 × 23,5 cm (ISBN 978-3-319-58225-2, EAN 9783319582252, OCLC 1012611408, DOI 10.1007/978-3-319-58226-9, S2CID 126183059, SUDOC 220825688, présentation en ligne).
• Carl D. Murray and Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999], pages 68–71. (ISBN 0-521-57597-4).

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