Inégalité de Levinson

En mathématiques, l'inégalité de Levinson est l'inégalité suivante, due à Norman Levinson, faisant intervenir des nombres strictement positifs. Soit ${\displaystyle a>0}$ et ${\displaystyle f}$ une fonction admettant une dérivée troisième sur l'intervalle ${\displaystyle \left]0,2a\right[}$ telle que ${\displaystyle f'''(x)\geqslant 0}$ pour tout ${\displaystyle x\in \left]0,2a\right[}$.

Supposons que ${\displaystyle 0<x_{i}\leqslant a}$ et ${\displaystyle 0<p_{i}}$ pour ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$. Alors :

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}f(x_{i})}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right)\leqslant {\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}f(2a-x_{i})}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}(2a-x_{i})}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right).}$

L'inégalité de Ky Fan (en) est le cas particulier de l'inégalité de Levinson où

${\displaystyle p_{i}=1,\ a={\frac {1}{2}},}$

et

${\displaystyle f(x)=\log(x).}$