Inégalité de Pedoe

Par la formule de Héron, les aires des deux triangles s'écrivent :

${\displaystyle 16s^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}$

${\displaystyle 16S^{2}=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}-2(A^{4}+B^{4}+C^{4})}$

En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient,

${\displaystyle 16Ss+2a^{2}A^{2}+2b^{2}B^{2}+2c^{2}C^{2}}$

${\displaystyle \leqslant {\sqrt {(16s^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4})}}{\sqrt {(16S^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4})}}}$

${\displaystyle =(a^{2}+b^{2}+c^{2})(A^{2}+B^{2}+C^{2})}$

Donc,

${\displaystyle 16Ss\leqslant A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2a^{2}A^{2}+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2b^{2}B^{2}+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2c^{2}C^{2}}$

${\displaystyle =A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$

d'où le résultat.

Il y a égalité si et seulement si ${\displaystyle {\tfrac {a}{A}}={\tfrac {b}{B}}={\tfrac {c}{C}}={\sqrt {\tfrac {s}{S}}}}$, c'est-à-dire ssi les deux triangles sont semblables.

• Liste d'inégalités dans le triangle

• Daniel Pedoe : An Inequality Connecting Any Two Triangles. The Mathematical Gazette, Vol. 25, n° 267 (décembre 1941), pp. 310-311 ( JSTOR )
• Daniel Pedoe : A Two-Triangle Inequality. The American Mathematical Monthly, volume 70, numéro 9, page 1012, novembre 1963.
• Daniel Pedoe : An Inequality for Two Triangles. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, volume 38, partie 4, page 397, 1943.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen : When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, p. 108
• DS Mitrinović, Josip Pečarić : About the Neuberg-Pedoe and the Oppenheim inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196-210 · janvier 1988 ( copie en ligne )

• Portail de la géométrie